Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie 𝑥
ଶ + 2𝑦ଶ + 𝑧 − 4 = 0, con el plano 𝑥 = 1 en el punto (1; 1; 1). Interpretar esta pendiente como una derivada parcial

Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie \( x^2 + 2y^2 + z - 4 = 0 \) con el plano \( x = 1 \) en el punto \((1, 1, 1)\), podemos seguir estos pasos:

### Paso 1: Sustituir \( x = 1 \) en la ecuación de la superficie

Sustituimos \( x = 1 \) en la ecuación de la superficie:

\[
1^2 + 2y^2 + z - 4 = 0
\]

Simplificando:

\[
1 + 2y^2 + z - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y^2 + z - 3 = 0
\]

Esta es la ecuación de la curva de intersección en el plano \( x = 1 \).

### Paso 2: Derivar implícitamente la ecuación respecto a \( y \)

La pendiente de la recta tangente en un plano es equivalente a la derivada parcial de la función respecto a \( y \). Derivamos implícitamente la ecuación \( 2y^2 + z - 3 = 0 \) respecto a \( y \):

\[
\frac{d}{dy}(2y^2) + \frac{d}{dy}(z) - \frac{d}{dy}(3) = 0
\]

\[
4y + \frac{\partial z}{\partial y} = 0
\]

Despejamos \( \frac{\partial z}{\partial y} \):

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = -4y
\]

### Paso 3: Evaluar en el punto \((1, 1, 1)\)

Sustituimos \( y = 1 \) en la expresión obtenida:

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = -4(1) = -4
\]

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección en el punto \((1, 1, 1)\) es \( -4 \).

### Interpretación como derivada parcial

La pendiente encontrada \( -4 \) es la derivada parcial de \( z \) con respecto a \( y \), manteniendo \( x = 1 \) constante, es decir, \( \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{x=1} = -4 \). Esto representa cómo cambia \( z \) cuando \( y \) varía ligeramente alrededor del punto \((1, 1, 1)\), mientras \( x \) permanece fijo en 1.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este procedimiento?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo encontrar la pendiente de la recta tangente si el plano fuera \( y = 1 \) en lugar de \( x = 1 \)?
2. ¿Cómo se deriva implícitamente una función más compleja?
3. ¿Cómo interpretar geométricamente una derivada parcial en un espacio tridimensional?
4. ¿Qué ocurre si la curva de intersección es más compleja, como una parábola en el espacio?
5. ¿Cómo se extendería este problema para superficies en cuatro dimensiones?

### Tip:
Al encontrar la pendiente de una tangente en una intersección, derivar implícitamente suele ser un método muy efectivo para obtener la derivada parcial que necesitas.

Discover how to find the slope of the tangent line to the intersection curve of the surface x^2 + 2y^2 + z - 4 = 0 and the plane x = 1 at point (1, 1, 1). This detailed solution involves implicit differentiation and partial derivatives, suitable for college-level mathematics.

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