Considere la curva cuya ecuación corresponde a: x2 + 2xy = y2+1
Determine la pendiente de la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto (1,2), y obtenga también las coordenadas del punto de intersección de dicha recta con el eje y. 

Para resolver el problema, debemos encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por \( x^2 + 2xy = y^2 + 1 \) en el punto \((1, 2)\). Esto se logra mediante el cálculo de la derivada implícita para determinar la pendiente de la recta tangente en ese punto.

### Paso 1: Derivada implícita

Dada la ecuación de la curva:

\[
x^2 + 2xy = y^2 + 1
\]

Diferenciamos ambos lados con respecto a \(x\):

1. Derivada de \(x^2\) con respecto a \(x\) es \(2x\).
2. Para \(2xy\), aplicamos la regla del producto: \(\frac{d}{dx}(2xy) = 2x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y\).
3. Derivada de \(y^2\) con respecto a \(x\) es \(2y \cdot \frac{dy}{dx}\).

Ahora, la ecuación derivada implícitamente es:

\[
2x + 2y + 2x \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \cdot \frac{dy}{dx}
\]

Reorganizamos para resolver \(\frac{dy}{dx}\):

\[
2x + 2y = 2y \cdot \frac{dy}{dx} - 2x \cdot \frac{dy}{dx}
\]

\[
2x + 2y = (2y - 2x) \cdot \frac{dy}{dx}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 2y}{2y - 2x}
\]

### Paso 2: Cálculo de la pendiente en el punto \((1, 2)\)

Sustituimos \(x = 1\) y \(y = 2\) en la expresión para \(\frac{dy}{dx}\):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{2(1) + 2(2)}{2(2) - 2(1)} = \frac{2 + 4}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3
\]

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en el punto \((1, 2)\) es 3.

### Paso 3: Ecuación de la recta tangente

La ecuación de la recta tangente en el punto \((1, 2)\) es de la forma:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Donde \(m\) es la pendiente y \((x_1, y_1) = (1, 2)\):

\[
y - 2 = 3(x - 1)
\]

\[
y - 2 = 3x - 3
\]

\[
y = 3x - 1
\]

### Paso 4: Intersección con el eje \(y\)

Para encontrar la intersección de la recta con el eje \(y\), hacemos \(x = 0\):

\[
y = 3(0) - 1 = -1
\]

Por lo tanto, la recta tangente intercepta el eje \(y\) en el punto \((0, -1)\).

### Resumen
- La pendiente de la recta tangente en \((1, 2)\) es 3.
- La ecuación de la recta tangente es \(y = 3x - 1\).
- La intersección de la recta con el eje \(y\) es el punto \((0, -1)\).

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**Tip:** Cuando trabajes con derivadas implícitas, asegúrate de derivar cada término con respecto a la variable principal y tener en cuenta las reglas de derivación adecuadas, como la regla del producto y la regla de la cadena.

Learn how to find the tangent line equation to the curve given by x^2 + 2xy = y^2 + 1 at the point (1, 2). This problem involves implicit differentiation and the equation of a tangent line. Suitable for advanced high school students or calculus enthusiasts.

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