Determine la ecuaci´on del plano que es tangente al paraboloide z = 2x2 + 3y2 y paralelo al plano 4x − 3y − z = 10.

Para determinar la ecuación del plano tangente al paraboloide \( z = 2x^2 + 3y^2 \) y que sea paralelo al plano \( 4x - 3y - z = 10 \), seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Derivadas parciales del paraboloide
El plano tangente a una superficie en un punto tiene una normal que es perpendicular a la superficie en ese punto. Para encontrar la dirección de esa normal, primero calculamos las derivadas parciales de \( z = 2x^2 + 3y^2 \).

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 4x \quad \text{y} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 6y
\]

Entonces, el vector normal al paraboloide en un punto \( (x_0, y_0, z_0) \) es:

\[
\vec{n} = \left( -4x_0, -6y_0, 1 \right)
\]

### Paso 2: Condición de paralelismo
El plano dado \( 4x - 3y - z = 10 \) tiene un vector normal \( \vec{n_1} = (4, -3, -1) \). Como buscamos un plano tangente al paraboloide que sea paralelo a este plano, el vector normal del plano tangente \( (-4x_0, -6y_0, 1) \) debe ser proporcional a \( (4, -3, -1) \). Es decir, debe cumplirse la siguiente relación:

\[
(-4x_0, -6y_0, 1) = k(4, -3, -1)
\]

Esto implica las siguientes ecuaciones:

\[
-4x_0 = 4k \quad \Rightarrow \quad x_0 = -k
\]
\[
-6y_0 = -3k \quad \Rightarrow \quad y_0 = \frac{k}{2}
\]
\[
1 = -k \quad \Rightarrow \quad k = -1
\]

Sustituyendo \( k = -1 \) en las ecuaciones de \( x_0 \) y \( y_0 \), obtenemos:

\[
x_0 = 1 \quad \text{y} \quad y_0 = -\frac{1}{2}
\]

### Paso 3: Encontrar \( z_0 \)
Usamos la ecuación del paraboloide \( z = 2x^2 + 3y^2 \) para encontrar \( z_0 \) en el punto \( (1, -\frac{1}{2}) \):

\[
z_0 = 2(1)^2 + 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 2 + 3\left(\frac{1}{4}\right) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}
\]

### Paso 4: Ecuación del plano tangente
Ahora que tenemos el punto de tangencia \( (1, -\frac{1}{2}, \frac{11}{4}) \) y el vector normal \( (4, -3, -1) \), la ecuación del plano tangente será:

\[
4(x - 1) - 3\left(y + \frac{1}{2}\right) - (z - \frac{11}{4}) = 0
\]

Simplificando:

\[
4x - 4 - 3y - \frac{3}{2} - z + \frac{11}{4} = 0
\]

Multiplicamos por 4 para eliminar fracciones:

\[
16x - 16 - 12y - 6 - 4z + 11 = 0
\]

\[
16x - 12y - 4z - 11 = 0
\]

Entonces, la ecuación del plano tangente es:

\[
16x - 12y - 4z = 11
\]

### Resultado final:
La ecuación del plano tangente al paraboloide \( z = 2x^2 + 3y^2 \) y paralelo al plano \( 4x - 3y - z = 10 \) es:

\[
16x - 12y - 4z = 11
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se obtienen las derivadas parciales de una función?
2. ¿Qué representa el vector normal de una superficie?
3. ¿Cómo se determina si dos planos son paralelos?
4. ¿Cómo se encuentra el punto de tangencia en una superficie?
5. ¿Qué significa que un plano sea tangente a una superficie en geometría?

**Tip:** Para comprobar si un plano es paralelo a otro, revisa si sus vectores normales son proporcionales.

Determine la ecuación del plano que es tangente al paraboloide z = 2x^2 + 3y^2 y paralelo al plano 4x − 3y − z = 10.

Explore how to determine the equation of a tangent plane to the paraboloid z = 2x^2 + 3y^2 that is parallel to the plane 4x − 3y − z = 10. This problem covers concepts in multivariable calculus, including partial derivatives, tangent planes, and parallelism. Suitable for undergraduate students.

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