Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especifico.
𝑧 = 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦), (2, 2, 2)



Para determinar a equação do plano tangente à superfície \( z = y \cdot \cos(x - y) \) no ponto específico \( (2, 2, 2) \), seguimos os seguintes passos:

### Passo 1: Determinar as derivadas parciais

Seja \( f(x, y, z) = z - y \cdot \cos(x - y) = 0 \), que representa a superfície. Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de \( z \) em relação a \( x \) e \( y \) no ponto dado.

#### Derivada parcial de \( z \) em relação a \( x \):
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = -y \cdot \sin(x - y)
\]
Substituindo o ponto \( (2, 2, 2) \):
\[
\frac{\partial z}{\partial x} \Big|_{(2,2)} = -2 \cdot \sin(2 - 2) = -2 \cdot \sin(0) = 0
\]

#### Derivada parcial de \( z \) em relação a \( y \):
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x - y) - y \cdot \sin(x - y)
\]
Substituindo o ponto \( (2, 2, 2) \):
\[
\frac{\partial z}{\partial y} \Big|_{(2,2)} = \cos(2 - 2) - 2 \cdot \sin(2 - 2) = 1 - 0 = 1
\]

### Passo 2: Equação do plano tangente

A equação do plano tangente é dada por:
\[
z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y} (y - y_0)
\]
Substituindo os valores \( (x_0, y_0, z_0) = (2, 2, 2) \) e as derivadas:
\[
z - 2 = 0 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - 2)
\]
Simplificando:
\[
z - 2 = y - 2
\]
Logo, a equação do plano tangente é:
\[
z = y
\]

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida sobre o processo?

### Questões Relacionadas:

1. O que é um plano tangente e como ele se relaciona com superfícies em 3D?
2. Como encontrar as derivadas parciais para superfícies mais complexas?
3. O que acontece se a superfície não for diferenciável em um ponto?
4. Quais são os métodos numéricos para aproximar planos tangentes?
5. Como o gradiente de uma função está relacionado ao plano tangente?
6. Qual é a interpretação geométrica do vetor normal ao plano tangente?
7. Como se determinaria o plano tangente se a função fosse implícita?
8. Existe alguma relação entre o plano tangente e o espaço tangente em geometria diferencial?

**Dica:** Em superfícies parametrizadas, o plano tangente pode ser obtido utilizando derivadas parciais em relação aos parâmetros da superfície.

Learn how to find the equation of the tangent plane to the surface z = y cos(x - y) at the specific point (2, 2, 2). This problem involves multivariable calculus concepts such as partial derivatives and the equation of a plane. Suitable for undergraduate students studying calculus and differential geometry.

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