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Para resolver el problema, necesitamos encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva \( x^2 + 8y = 0 \) en el punto con abscisa \( x = 4 \).

### Paso 1: Determinar el punto en la curva
Primero, encontramos la coordenada \( y \) correspondiente a \( x = 4 \) en la curva dada:
\[
x^2 + 8y = 0
\]
Sustituyendo \( x = 4 \) en la ecuación:
\[
4^2 + 8y = 0 \implies 16 + 8y = 0 \implies y = -2
\]
Por lo tanto, el punto de tangencia es \( (4, -2) \).

### Paso 2: Encontrar la derivada
Para encontrar la pendiente de la tangente, necesitamos la derivada implícita de la ecuación respecto a \( x \):
\[
\text{Diferenciando } x^2 + 8y = 0 \text{ respecto a } x:
\]
\[
\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(8y) = 0
\]
\[
2x + 8 \frac{dy}{dx} = 0
\]
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4}
\]
Así que la pendiente de la tangente en el punto \( (4, -2) \) es:
\[
m = -\frac{4}{4} = -1
\]

### Paso 3: Ecuación de la recta tangente
Conocemos la pendiente \( m = -1 \) y el punto de tangencia \( (4, -2) \). La ecuación de la recta tangente en la forma punto-pendiente es:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
y + 2 = -1(x - 4)
\]
Simplificando:
\[
y + 2 = -x + 4 \implies x + y - 2 = 0
\]

### Paso 4: Comparar con las opciones dadas
La ecuación obtenida es \( x + y - 2 = 0 \), que corresponde a la opción **D**.

### Respuesta Final:
La respuesta correcta es la opción **D: \( x + y - 2 = 0 \)**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se determina la derivada implícita de una ecuación implícita?
2. ¿Qué significa la pendiente de la tangente en términos geométricos?
3. ¿Cómo se puede encontrar la ecuación de la recta normal a una curva en un punto dado?
4. ¿Qué sucede con la pendiente si la curva es una línea recta?
5. ¿Cómo influye la elección del punto en la pendiente de la tangente?

**Tip:** Al trabajar con derivadas implícitas, asegúrate de diferenciar cada término correctamente respecto a la variable correspondiente, considerando la regla de la cadena cuando sea necesario.

Learn how to find the equation of the tangent line to the curve x^2 + 8y = 0 at x = 4. This problem involves implicit differentiation and the point-slope form of a line equation. Suitable for advanced high school students.

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