Determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de: x^2+4y^2=4 en el punto (=√2, -1/√2)

Para determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la ecuación implícita \(x^2 + 4y^2 = 4\) en el punto dado \((\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})\), debemos seguir estos pasos:

1. **Encontrar la derivada implícita \( \frac{dy}{dx} \):**

Dado que la ecuación es implícita, usaremos la diferenciación implícita. Derivemos ambos lados de la ecuación con respecto a \(x\):

\[
\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4y^2) = \frac{d}{dx}(4).
\]

Esto se convierte en:

\[
2x + 4 \cdot 2y \frac{dy}{dx} = 0.
\]

Simplificando:

\[
2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0.
\]

2. **Despejar \( \frac{dy}{dx} \):**

\[
8y \frac{dy}{dx} = -2x.
\]

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{8y} = \frac{-x}{4y}.
\]

3. **Calcular la pendiente en el punto dado \( (\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \):**

Sustituimos \(x = \sqrt{2}\) y \(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) en la fórmula de la derivada:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{2}}{4 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}.
\]

Simplificando:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{2}}{-\frac{4}{\sqrt{2}}} = \frac{-\sqrt{2}}{-4 / \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}.
\]

Por lo tanto, **la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto dado es \( \frac{1}{2} \).**

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto?
2. ¿Qué métodos alternativos existen para calcular la pendiente de una tangente?
3. ¿Qué es la diferenciación implícita y cuándo se utiliza?
4. ¿Cómo se determina la concavidad de una curva en un punto dado?
5. ¿Cómo se calcula la pendiente de una curva en coordenadas polares?

### Tip:
Cuando trabajes con ecuaciones implícitas, la diferenciación implícita es una herramienta clave para encontrar derivadas.

Learn how to determine the slope of the tangent line to the ellipse defined by x^2 + 4y^2 = 4 at the point (√2, -1/√2) using implicit differentiation. This solution covers key calculus concepts, such as implicit differentiation and the slope of a tangent line. Suitable for students in Grades 11-12.

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