https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17247891049562vain7el.jpg

Para resolver estos ejercicios, es necesario calcular la **velocidad instantánea** para cada valor de \( t \) suministrado, que se obtiene al derivar la función de posición \( f(t) \) respecto al tiempo \( t \) y luego evaluar esa derivada en el valor de \( t \) indicado.

Vamos a resolver cada uno de los apartados:

1. **a.** \( f(t) = 4t^2 + 1 \), para \( t = 5 \) segundos.

   Derivada de \( f(t) \):
   \[
   f'(t) = \frac{d}{dt}(4t^2 + 1) = 8t
   \]
   Evaluamos en \( t = 5 \):
   \[
   f'(5) = 8(5) = 40 \, \text{m/s}
   \]

2. **b.** \( f(t) = \frac{1}{3t} \), para \( t = 0.5 \) segundos.

   Derivada de \( f(t) \):
   \[
   f'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3t}\right) = -\frac{1}{3t^2}
   \]
   Evaluamos en \( t = 0.5 \):
   \[
   f'(0.5) = -\frac{1}{3(0.5)^2} = -\frac{1}{3(0.25)} = -\frac{1}{0.75} \approx -1.33 \, \text{m/s}
   \]

3. **c.** \( f(t) = \frac{50}{t^2} \), para \( t = 4 \) segundos.

   Derivada de \( f(t) \):
   \[
   f'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{50}{t^2}\right) = -\frac{100}{t^3}
   \]
   Evaluamos en \( t = 4 \):
   \[
   f'(4) = -\frac{100}{4^3} = -\frac{100}{64} = -1.5625 \, \text{m/s}
   \]

4. **d.** \( f(t) = \sqrt{t} + 1 \), para \( t = 2 \) segundos.

   Derivada de \( f(t) \):
   \[
   f'(t) = \frac{d}{dt}(\sqrt{t} + 1) = \frac{1}{2\sqrt{t}}
   \]
   Evaluamos en \( t = 2 \):
   \[
   f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\cdot1.414} \approx 0.354 \, \text{m/s}
   \]

5. **e.** \( f(t) = \frac{1}{\sqrt{t} + 2} \), para \( t = 4 \) segundos.

   Derivada de \( f(t) \) usando la regla del cociente:
   \[
   f'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\sqrt{t} + 2}\right) = -\frac{\frac{1}{2\sqrt{t}}}{(\sqrt{t} + 2)^2}
   \]
   Evaluamos en \( t = 4 \):
   \[
   f'(4) = -\frac{\frac{1}{2\sqrt{4}}}{(\sqrt{4} + 2)^2} = -\frac{\frac{1}{2 \times 2}}{(2 + 2)^2} = -\frac{\frac{1}{4}}{16} = -\frac{1}{64} = -0.015625 \, \text{m/s}
   \]

6. **f.** \( f(t) = 2t^2 + 4t \), para \( t = 8 \) segundos.

   Derivada de \( f(t) \):
   \[
   f'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + 4t) = 4t + 4
   \]
   Evaluamos en \( t = 8 \):
   \[
   f'(8) = 4(8) + 4 = 32 + 4 = 36 \, \text{m/s}
   \]

Las velocidades instantáneas para los valores de \( t \) indicados son:

1. \( 40 \, \text{m/s} \)
2. \( -1.33 \, \text{m/s} \)
3. \( -1.5625 \, \text{m/s} \)
4. \( 0.354 \, \text{m/s} \)
5. \( -0.015625 \, \text{m/s} \)
6. \( 36 \, \text{m/s} \)

¿Te gustaría que explique con más detalle algún paso o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se puede interpretar físicamente una velocidad instantánea negativa?
2. ¿Qué sucede si la función de posición es una constante? ¿Cuál sería la velocidad instantánea?
3. ¿Cómo cambia la derivada si la función de posición incluye un término cúbico?
4. ¿Cuál es la relación entre la aceleración y la derivada de la velocidad?
5. ¿Cómo se podría calcular la velocidad promedio en un intervalo de tiempo en lugar de la instantánea?

**Tip:** La derivada de una función de posición respecto al tiempo te proporciona la velocidad instantánea en cualquier punto del tiempo. ¡Es una herramienta poderosa para entender el movimiento!

Aprende a resolver ejercicios de velocidad instantánea paso a paso con ejemplos prácticos. Calculamos la velocidad instantánea para diversas funciones de posición en diferentes instantes de tiempo, incluyendo ejercicios con funciones cuadráticas, racionales y más. Ideal para estudiantes de secundaria interesados en cálculo y física.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation