Considere uma função quadrática do tipo   y = a x 2 + b x + c  , em que:  f ( 1 ) = 9 f ( 2 ) = 4 f ( − 1 ) = 1   qual a relação quadrática entre x e y.

Para encontrar a relação quadrática \( y = ax^2 + bx + c \), vamos utilizar as condições fornecidas pelos pontos dados na função. Os pontos são:

\[
f(1) = 9, \quad f(2) = 4, \quad f(-1) = 1
\]

Vamos substituir esses valores na equação geral da função quadrática para encontrar os coeficientes \( a \), \( b \) e \( c \).

1. Para \( x = 1 \):
\[
f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 9
\]
\[
a + b + c = 9 \quad \text{(Equação 1)}
\]

2. Para \( x = 2 \):
\[
f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4
\]
\[
4a + 2b + c = 4 \quad \text{(Equação 2)}
\]

3. Para \( x = -1 \):
\[
f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 1
\]
\[
a - b + c = 1 \quad \text{(Equação 3)}
\]

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:

### Passo 1: Subtrair a Equação 1 da Equação 3
\[
(a - b + c) - (a + b + c) = 1 - 9
\]
\[
-2b = -8
\]
\[
b = 4
\]

### Passo 2: Substituir \( b = 4 \) nas Equações 1 e 2

Substituindo \( b = 4 \) na Equação 1:
\[
a + 4 + c = 9
\]
\[
a + c = 5 \quad \text{(Equação 4)}
\]

Substituindo \( b = 4 \) na Equação 2:
\[
4a + 2(4) + c = 4
\]
\[
4a + 8 + c = 4
\]
\[
4a + c = -4 \quad \text{(Equação 5)}
\]

### Passo 3: Subtrair a Equação 4 da Equação 5
\[
(4a + c) - (a + c) = -4 - 5
\]
\[
3a = -9
\]
\[
a = -3
\]

### Passo 4: Encontrar \( c \)
Substituindo \( a = -3 \) na Equação 4:
\[
-3 + c = 5
\]
\[
c = 8
\]

### Resposta Final

A relação quadrática entre \( x \) e \( y \) é:

\[
y = -3x^2 + 4x + 8
\]

---

Você gostaria de mais detalhes sobre a solução ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relativas ao conteúdo discutido:
1. Como podemos verificar se a função encontrada está correta?
2. Quais são as raízes da função quadrática \( y = -3x^2 + 4x + 8 \)?
3. Como determinar o vértice da parábola representada por essa função?
4. Qual o impacto de alterar o valor de \( a \) na forma da parábola?
5. Como o discriminante da função quadrática influencia o número de raízes reais?

**Dica:** O valor de \( a \) na equação quadrática determina se a parábola abre para cima (\( a > 0 \)) ou para baixo (\( a < 0 \)).

Considere uma função quadrática do tipo y = a x^2 + bx + c, em que: f(1) = 9, f(2) = 4, f(−1) = 1. Qual a relação quadrática entre x e y?

Discover how to find the quadratic relationship y = ax^2 + bx + c given the conditions f(1) = 9, f(2) = 4, and f(−1) = 1. This solution involves solving a system of linear equations and applying quadratic function concepts, ideal for students in Grades 9-10.

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