Hallar la función lineal para la cual se cumple que: 2f (2) +f (4) = 21 y f (-3) – 3f (1) = -6

Para hallar la función lineal \( f(x) = ax + b \), necesitamos encontrar los valores de \( a \) y \( b \) que cumplan con las condiciones dadas:

1. \( 2f(2) + f(4) = 21 \)
2. \( f(-3) - 3f(1) = -6 \)

### Paso 1: Expresamos las condiciones en términos de \( a \) y \( b \).

Sabemos que \( f(x) = ax + b \), por lo que:

- \( f(2) = 2a + b \)
- \( f(4) = 4a + b \)
- \( f(-3) = -3a + b \)
- \( f(1) = a + b \)

### Paso 2: Sustituimos estas expresiones en las ecuaciones dadas.

1. Para la primera ecuación:
   \[
   2f(2) + f(4) = 21 \implies 2(2a + b) + (4a + b) = 21
   \]
   Simplificando:
   \[
   4a + 2b + 4a + b = 21 \implies 8a + 3b = 21 \quad \text{(Ecuación 1)}
   \]

2. Para la segunda ecuación:
   \[
   f(-3) - 3f(1) = -6 \implies (-3a + b) - 3(a + b) = -6
   \]
   Simplificando:
   \[
   -3a + b - 3a - 3b = -6 \implies -6a - 2b = -6 \quad \text{(Ecuación 2)}
   \]
   Dividiendo toda la ecuación entre -2:
   \[
   3a + b = 3 \quad \text{(Ecuación 2 simplificada)}
   \]

### Paso 3: Resolvemos el sistema de ecuaciones.

Tenemos el siguiente sistema:

\[
8a + 3b = 21 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]
\[
3a + b = 3 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

Multiplicamos la Ecuación 2 por 3 para alinear los términos con la Ecuación 1:

\[
9a + 3b = 9
\]

Ahora restamos la Ecuación 1 de esta nueva ecuación:

\[
(9a + 3b) - (8a + 3b) = 9 - 21
\]
\[
a = -12
\]

### Paso 4: Encontramos \( b \).

Sustituimos \( a = -12 \) en la Ecuación 2:

\[
3(-12) + b = 3
\]
\[
-36 + b = 3
\]
\[
b = 39
\]

### Paso 5: Conclusión.

La función lineal es:
\[
f(x) = -12x + 39
\]

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se grafica una función lineal?
2. ¿Qué significa el coeficiente de la pendiente en una función lineal?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( b \) a la gráfica de una función lineal?
4. ¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones por sustitución?
5. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales?

### Tip:
Siempre es útil verificar la solución sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales.

Hallar la función lineal para la cual se cumple que: 2f(2) + f(4) = 21 y f(-3) – 3f(1) = -6

Discover how to solve for a linear function f(x) = ax + b given the conditions 2f(2) + f(4) = 21 and f(-3) – 3f(1) = -6. This step-by-step solution includes breaking down the system of equations and solving for the constants a and b. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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