Determina la función cuadrática que pasa por los puntos A(0,1), B(1,0) y C(3,4). 
Encontrar los valores de A, B y C , recuerda que la ecuación de la parábola es y=ax2 +bx +c.

Por los dos métodos (Gaus y Algebraico)

Para encontrar la función cuadrática que pasa por los puntos \( A(0, 1) \), \( B(1, 0) \) y \( C(3, 4) \), debemos encontrar los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) en la ecuación general de la parábola:

\[
y = ax^2 + bx + c
\]

### Método Algebraico

1. **Sustituimos los puntos en la ecuación de la parábola**:

   - Para el punto \( A(0, 1) \):
     \[
     1 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 1
     \]

   - Para el punto \( B(1, 0) \):
     \[
     0 = a(1)^2 + b(1) + 1 \implies a + b + 1 = 0 \implies a + b = -1 \quad (1)
     \]

   - Para el punto \( C(3, 4) \):
     \[
     4 = a(3)^2 + b(3) + 1 \implies 9a + 3b + 1 = 4 \implies 9a + 3b = 3 \quad (2)
     \]

2. **Resolvemos el sistema de ecuaciones**:

   Del sistema de ecuaciones:
   \[
   \begin{cases}
   a + b = -1 \quad (1) \\
   9a + 3b = 3 \quad (2)
   \end{cases}
   \]

   De la ecuación \( (1) \):
   \[
   b = -1 - a
   \]
   Sustituyendo en \( (2) \):
   \[
   9a + 3(-1 - a) = 3 \implies 9a - 3 - 3a = 3 \implies 6a = 6 \implies a = 1
   \]
   Y usando \( b = -1 - a \):
   \[
   b = -1 - 1 = -2
   \]
   Finalmente, con \( c = 1 \).

   La función cuadrática es:
   \[
   y = x^2 - 2x + 1
   \]

### Método de Gauss

1. **Formamos el sistema de ecuaciones** usando los puntos \( A(0, 1) \), \( B(1, 0) \) y \( C(3, 4) \):

   \[
   \begin{cases}
   1 = a(0)^2 + b(0) + c & \implies 0a + 0b + c = 1 \quad \text{(Ecuación 1)} \\
   0 = a(1)^2 + b(1) + c & \implies 1a + 1b + c = 0 \quad \text{(Ecuación 2)} \\
   4 = a(3)^2 + b(3) + c & \implies 9a + 3b + c = 4 \quad \text{(Ecuación 3)}
   \end{cases}
   \]

   El sistema queda como:
   \[
   \begin{pmatrix}
   0 & 0 & 1 \\
   1 & 1 & 1 \\
   9 & 3 & 1
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   a \\
   b \\
   c
   \end{pmatrix}
   =
   \begin{pmatrix}
   1 \\
   0 \\
   4
   \end{pmatrix}
   \]

2. **Aplicamos el método de eliminación de Gauss**:

   Restamos la primera fila de la segunda y la tercera para eliminar \( c \):

   - Fila 2: \( \text{F2} - \text{F1} \implies (1, 1, 0) \)
   - Fila 3: \( \text{F3} - \text{F1} \implies (9, 3, 3) \)

   El sistema se convierte en:
   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 1 \\
   0 & -1 & 1 \\
   0 & -6 & 3
   \end{pmatrix}
   \]

   Restamos \( 6 \) veces la segunda fila de la tercera para eliminar \( b \):

   - Fila 3: \( \text{F3} - 6\text{F2} \implies (0, 0, 0) \)

   El sistema reducido es:
   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 1 \\
   0 & 1 & -1 \\
   0 & 0 & 0
   \end{pmatrix}
   \]

   Esto nos confirma que \( a = 1 \), \( b = -2 \), y \( c = 1 \).

   La función cuadrática es:
   \[
   y = x^2 - 2x + 1
   \]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas adicionales que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se aplicaría este método a una función cúbica?
2. ¿Qué otros métodos pueden usarse para resolver sistemas de ecuaciones?
3. ¿Cómo se grafica la parábola obtenida y qué significa el vértice?
4. ¿Qué ocurriría si los puntos dados no definieran una parábola?
5. ¿Qué es el método de Gauss-Jordan y en qué se diferencia del de Gauss?

**Tip:** Recuerda que la factorización es una herramienta útil para comprobar tus resultados cuando resuelves ecuaciones cuadráticas.

Learn how to find the quadratic function y = ax^2 + bx + c passing through points A(0,1), B(1,0), and C(3,4). Detailed solutions using algebraic and Gaussian methods are provided, covering key concepts like quadratic equations and systems of equations.

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