Ernesto tenia un dinero ahorrado  cuando se dispone a gastar se percata que si gasta la tercera parte le quedaria 80 soles mas que si gastara la mitad cuanto tenia ahorrado 

Para resolver este problema, debemos definir una variable que represente el dinero que Ernesto tenía ahorrado. Supongamos que el monto total ahorrado es \( x \) soles.

### Paso 1: Plantear las ecuaciones

1. **Si Ernesto gasta la tercera parte de su dinero**, le quedaría:

   \[
   x - \frac{x}{3}
   \]

   Simplificando, esto es:

   \[
   \frac{2x}{3}
   \]

2. **Si Ernesto gasta la mitad de su dinero**, le quedaría:

   \[
   x - \frac{x}{2}
   \]

   Simplificando, esto es:

   \[
   \frac{x}{2}
   \]

Según el problema, la cantidad que le queda después de gastar la tercera parte es 80 soles más que la cantidad que le queda después de gastar la mitad. Entonces, podemos escribir la ecuación:

\[
\frac{2x}{3} = \frac{x}{2} + 80
\]

### Paso 2: Resolver la ecuación

Primero, vamos a eliminar los denominadores multiplicando toda la ecuación por 6 (el mínimo común múltiplo de 3 y 2):

\[
6 \left(\frac{2x}{3}\right) = 6 \left(\frac{x}{2} + 80\right)
\]

Esto simplifica a:

\[
4x = 3x + 480
\]

Restamos \(3x\) de ambos lados:

\[
4x - 3x = 480
\]

\[
x = 480
\]

### Paso 3: Verificar la solución

Ernesto tenía ahorrados **480 soles**.

- Si gasta la tercera parte (\(\frac{1}{3} \times 480 = 160\)), le quedan \(480 - 160 = 320\) soles.
- Si gasta la mitad (\(\frac{1}{2} \times 480 = 240\)), le quedan \(480 - 240 = 240\) soles.

Comprobando la diferencia: \(320 - 240 = 80\) soles. Esto concuerda con el problema.

### Conclusión

Ernesto tenía ahorrados **480 soles**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre cómo se resolvió el problema, o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelven ecuaciones con fracciones?
2. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver ecuaciones lineales?
3. ¿Cómo verificar soluciones en problemas matemáticos?
4. ¿Cómo se aplica el concepto de proporción en problemas matemáticos?
5. ¿Qué importancia tiene plantear correctamente una ecuación a partir de un problema?

**Tip:** Siempre verifica tu solución sustituyendo los valores obtenidos de vuelta en el problema original para asegurarte de que cumplen todas las condiciones dadas.

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