Las instrucciones son las siguientes: encuentre la ecuacion de las rectas normal y tangente a la curva en el punto indicado

 x^2 = sec(y)/(x+y-1) en (1,0)

Para encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva \( x^2 = \frac{\sec(y)}{x + y - 1} \) en el punto \((1, 0)\), debemos seguir estos pasos:

### 1. Diferenciación implícita:
Primero, diferenciamos la ecuación implícita respecto a \(x\) y \(y\). Recuerda que \(y\) es una función implícita de \(x\), por lo que usaremos la regla de la cadena para las derivadas con respecto a \(y\).

La ecuación es:

\[
x^2 = \frac{\sec(y)}{x + y - 1}
\]

### 2. Derivada de ambos lados:
Diferenciamos ambos lados con respecto a \(x\).

#### Lado izquierdo:
\[
\frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]

#### Lado derecho:
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{\sec(y)}{x + y - 1} \right)
\]

Usamos la regla del cociente:
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \cdot u' - u \cdot v'}{v^2}
\]
donde \(u = \sec(y)\) y \(v = x + y - 1\).

- Derivada de \(u = \sec(y)\):
\[
u' = \sec(y) \tan(y) \frac{dy}{dx}
\]

- Derivada de \(v = x + y - 1\):
\[
v' = 1 + \frac{dy}{dx}
\]

Por lo tanto, la derivada del lado derecho es:

\[
\frac{(x + y - 1) \cdot (\sec(y) \tan(y) \frac{dy}{dx}) - \sec(y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})}{(x + y - 1)^2}
\]

### 3. Sustitución del punto \((1, 0)\):
Ahora evaluamos en el punto \((x, y) = (1, 0)\):

- En este punto, la ecuación original se simplifica:
\[
1^2 = \frac{\sec(0)}{1 + 0 - 1} \quad \Rightarrow \quad 1 = \frac{1}{0}
\]

Esta simplificación resulta en una indeterminación, lo que indica que la curva tiene un comportamiento singular en este punto. Este tipo de situaciones ocurre cuando la curva presenta características especiales, como una tangencia vertical o una discontinuidad en la pendiente. Esto sugiere que debemos revisar la formulación del problema o interpretar esta singularidad correctamente.

¿Te gustaría que discutamos alguna otra interpretación o ver detalles adicionales sobre cómo abordar este tipo de problemas?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se realiza la diferenciación implícita en otras ecuaciones implícitas similares?
2. ¿Qué es la regla de la cadena y cómo se aplica en derivadas implícitas?
3. ¿Cómo interpretamos una singularidad en una curva?
4. ¿Qué ocurre cuando una ecuación genera una indeterminación en un punto específico?
5. ¿Qué papel juegan las derivadas parciales en problemas de tangentes y normales?

### Tip:
Siempre verifica la consistencia de la ecuación en el punto antes de proceder a la diferenciación.

Las instrucciones son las siguientes: encuentre la ecuacion de las rectas normal y tangente a la curva en el punto indicado: x^2 = sec(y)/(x+y-1) en (1,0)

This problem demonstrates how to find the tangent and normal lines to the curve x^2 = sec(y)/(x + y - 1) at the point (1, 0) using implicit differentiation. Key calculus concepts such as the quotient rule and chain rule are applied, alongside a discussion of singularities.

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