8. Los siguientes son los datos que muestran 
la preferencia de algunos estudiantes de 
primer semestre por ciertas asignaturas:
A 36 les gusta matemáticas, a 32 les gusta 
administración, a 31 le gusta biología, a 16 les 
gusta administración y biología, a 15 
matemáticas y administración, a 14 
matemáticas y biología y tienen preferencia 
por las tres.
a. ¿Cuántos estudiantes fueron 
encuestados?
b. ¿Cuántos estudiantes prefieren 
solamente matemáticas?
c. ¿Cuántos estudiantes no prefieren 
biología?
d. ¿Cuántos estudiantes prefieren 
matemáticas y biología, pero no 
administración?

Para resolver este problema, podemos usar el principio de inclusión-exclusión y un diagrama de Venn para analizar las preferencias de los estudiantes por las diferentes asignaturas. Denotemos lo siguiente:

- \( M \) = número de estudiantes que prefieren Matemáticas.
- \( A \) = número de estudiantes que prefieren Administración.
- \( B \) = número de estudiantes que prefieren Biología.
- \( M \cap A \) = número de estudiantes que prefieren tanto Matemáticas como Administración.
- \( M \cap B \) = número de estudiantes que prefieren tanto Matemáticas como Biología.
- \( A \cap B \) = número de estudiantes que prefieren tanto Administración como Biología.
- \( M \cap A \cap B \) = número de estudiantes que prefieren las tres asignaturas.

Datos proporcionados:

- \( M = 36 \)
- \( A = 32 \)
- \( B = 31 \)
- \( A \cap B = 16 \)
- \( M \cap A = 15 \)
- \( M \cap B = 14 \)
- \( M \cap A \cap B = 7 \)

### a. ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?

Usaremos la fórmula de inclusión-exclusión:

\[
|M \cup A \cup B| = |M| + |A| + |B| - |M \cap A| - |A \cap B| - |M \cap B| + |M \cap A \cap B|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|M \cup A \cup B| = 36 + 32 + 31 - 15 - 16 - 14 + 7 = 61
\]

Entonces, **61 estudiantes** fueron encuestados.

### b. ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente matemáticas?

El número de estudiantes que prefieren solo Matemáticas es:

\[
|M \text{ solamente}| = |M| - |M \cap A| - |M \cap B| + |M \cap A \cap B|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|M \text{ solamente}| = 36 - 15 - 14 + 7 = 14
\]

Entonces, **14 estudiantes** prefieren solamente Matemáticas.

### c. ¿Cuántos estudiantes no prefieren biología?

El número de estudiantes que no prefieren Biología se puede calcular como:

\[
|M \cup A| = |M| + |A| - |M \cap A|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|M \cup A| = 36 + 32 - 15 = 53
\]

Pero, debemos restar de \( |M \cup A| \) los que también prefieren Biología:

\[
\text{Estudiantes que prefieren Biología dentro de } M \cup A = |M \cap B| + |A \cap B| - |M \cap A \cap B| = 14 + 16 - 7 = 23
\]

Entonces, el número de estudiantes que prefieren Matemáticas o Administración, pero no Biología es:

\[
53 - 23 = 30
\]

Por lo tanto, **30 estudiantes** no prefieren Biología.

### d. ¿Cuántos estudiantes prefieren matemáticas y biología, pero no administración?

Esto se refiere a los estudiantes en la intersección de Matemáticas y Biología, pero que no están en Administración:

\[
|M \cap B \text{, pero no } A| = |M \cap B| - |M \cap A \cap B|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|M \cap B \text{, pero no } A| = 14 - 7 = 7
\]

Por lo tanto, **7 estudiantes** prefieren Matemáticas y Biología, pero no Administración.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí te dejo algunas preguntas adicionales que podrías considerar:

1. ¿Qué sucede si se añade una nueva asignatura y algunos estudiantes la prefieren también?
2. ¿Cómo cambia el número total de estudiantes si sabemos que algunos estudiantes prefieren más de una asignatura?
3. ¿Qué sucede si algunos estudiantes prefieren ninguna de las asignaturas mencionadas?
4. ¿Podrías determinar cuántos estudiantes prefieren solo una de las asignaturas?
5. ¿Cómo podrías verificar la consistencia de los datos proporcionados?

**Tip:** Utilizar un diagrama de Venn te puede ayudar a visualizar y resolver problemas de conjuntos más fácilmente.

Explore how to analyze student preferences for subjects using set theory and the inclusion-exclusion principle. This problem involves calculating student preferences for specific subjects and determining intersection and union sets. Suitable for advanced high school or college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation