En una academia de artes hay 43 alumnos que toman clases de cerámica, 57 de pintura, 29 de escultura. En cerámica y en pintura hay 10 alumnos, 5 en pintura y escultura, 5 cerámica y escultura y hay 2 que toman los tres cursos. ¿Cuántos alumnos toman cuando menos un curso en la academia de arte? 
Respuesta


Este problema es un clásico de conjuntos y podemos resolverlo usando el principio de inclusión-exclusión. Aquí, queremos encontrar cuántos alumnos toman al menos un curso en la academia de arte, es decir, el número total de alumnos que toman al menos una de las tres clases: cerámica, pintura o escultura.

### Paso 1: Definir los conjuntos
- \(C\): conjunto de estudiantes que toman cerámica.
- \(P\): conjunto de estudiantes que toman pintura.
- \(E\): conjunto de estudiantes que toman escultura.

Nos han dado las siguientes informaciones:
- \(|C| = 43\) (número de estudiantes que toman cerámica).
- \(|P| = 57\) (número de estudiantes que toman pintura).
- \(|E| = 29\) (número de estudiantes que toman escultura).
- \(|C \cap P| = 10\) (número de estudiantes que toman cerámica y pintura).
- \(|P \cap E| = 5\) (número de estudiantes que toman pintura y escultura).
- \(|C \cap E| = 5\) (número de estudiantes que toman cerámica y escultura).
- \(|C \cap P \cap E| = 2\) (número de estudiantes que toman los tres cursos).

### Paso 2: Aplicar el principio de inclusión-exclusión
Para encontrar el número total de estudiantes que toman al menos un curso, usamos la fórmula del principio de inclusión-exclusión para tres conjuntos:

\[
|C \cup P \cup E| = |C| + |P| + |E| - |C \cap P| - |P \cap E| - |C \cap E| + |C \cap P \cap E|
\]

Sustituyendo los valores dados:

\[
|C \cup P \cup E| = 43 + 57 + 29 - 10 - 5 - 5 + 2
\]

### Paso 3: Realizar los cálculos
Realizamos los cálculos paso a paso:

\[
|C \cup P \cup E| = 129 - 20 + 2 = 111
\]

Por lo tanto, **111 alumnos** toman al menos un curso en la academia de arte.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué sucedería si 3 estudiantes más tomaran los tres cursos?
2. ¿Cuántos estudiantes toman exactamente dos cursos?
3. ¿Cómo se vería el diagrama de Venn de este problema?
4. ¿Qué porcentaje de estudiantes toma escultura?
5. Si se agregan otros 10 estudiantes que solo toman pintura, ¿cuál sería el nuevo total?
6. ¿Cuántos estudiantes toman solo cerámica?
7. ¿Cuál es el número de estudiantes que toman cerámica y escultura, pero no pintura?
8. ¿Cómo se aplicaría el principio de inclusión-exclusión con cuatro cursos?

### Consejo:
Cuando trabajes con problemas de conjuntos y conteo, los diagramas de Venn pueden ser una herramienta útil para visualizar la superposición de elementos.

Learn how to solve a complex problem involving student enrollment in an art academy using sets and the principle of inclusion-exclusion. Understand the relationships between students taking ceramics, painting, and sculpture classes. Suitable for advanced high school students.

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