. En una escuela secundaria se tienen los siguientes datos de 2500
estudiantes: a 750 les gusta Español; a 1200 les gusta Biología; a 1350 les
gusta Ciencias Sociales; a 250 les gustan Español y Biología; a 550 les
gustan Biología y Ciencias Sociales; a 300 les gustan Ciencias Sociales y
Español; a 100 les gustan Español, Biología y Ciencias Sociales. Indique a
cuántos de estos 2500 estudiantes les gusta:
a. sólo una de estas materias
b. exactamente dos de estas tres materias
c. ninguna de las tres materias 

Para resolver este problema, utilizaremos el principio de inclusión-exclusión y el análisis de subconjuntos para determinar cuántos estudiantes están interesados en una, dos o ninguna de las materias dadas: Español, Biología y Ciencias Sociales.

### Definiciones y Notaciones

- \(E\): Conjunto de estudiantes que les gusta Español.
- \(B\): Conjunto de estudiantes que les gusta Biología.
- \(C\): Conjunto de estudiantes que les gusta Ciencias Sociales.

Dado:
- \(|E| = 750\) (Estudiantes que les gusta Español)
- \(|B| = 1200\) (Estudiantes que les gusta Biología)
- \(|C| = 1350\) (Estudiantes que les gusta Ciencias Sociales)
- \(|E \cap B| = 250\) (Estudiantes que les gusta Español y Biología)
- \(|B \cap C| = 550\) (Estudiantes que les gusta Biología y Ciencias Sociales)
- \(|C \cap E| = 300\) (Estudiantes que les gusta Ciencias Sociales y Español)
- \(|E \cap B \cap C| = 100\) (Estudiantes que les gusta las tres materias)

### Solución

#### a. Número de estudiantes que les gusta **sólo una** de estas materias

Calculamos la cantidad de estudiantes a los que les gusta **sólo** una materia restando aquellos que les gustan combinaciones de materias de los totales:

1. **Sólo Español**:  
\[
|E| - |E \cap B| - |E \cap C| + |E \cap B \cap C| = 750 - 250 - 300 + 100 = 300
\]

2. **Sólo Biología**:  
\[
|B| - |B \cap E| - |B \cap C| + |E \cap B \cap C| = 1200 - 250 - 550 + 100 = 500
\]

3. **Sólo Ciencias Sociales**:  
\[
|C| - |C \cap E| - |C \cap B| + |E \cap B \cap C| = 1350 - 300 - 550 + 100 = 600
\]

Entonces, el número de estudiantes a los que les gusta **sólo una** de estas materias es:

\[
300 + 500 + 600 = 1400
\]

#### b. Número de estudiantes que les gusta **exactamente dos** de estas tres materias

Calculamos la cantidad de estudiantes a los que les gusta exactamente dos materias restando aquellos que les gusta las tres:

1. **Español y Biología, pero no Ciencias Sociales**:  
\[
|E \cap B| - |E \cap B \cap C| = 250 - 100 = 150
\]

2. **Biología y Ciencias Sociales, pero no Español**:  
\[
|B \cap C| - |E \cap B \cap C| = 550 - 100 = 450
\]

3. **Ciencias Sociales y Español, pero no Biología**:  
\[
|C \cap E| - |E \cap B \cap C| = 300 - 100 = 200
\]

Entonces, el número de estudiantes a los que les gusta **exactamente dos** de estas materias es:

\[
150 + 450 + 200 = 800
\]

#### c. Número de estudiantes que **no les gusta ninguna** de las tres materias

Usamos el principio de inclusión-exclusión para calcular el total de estudiantes que les gusta al menos una de las materias:

\[
|E \cup B \cup C| = |E| + |B| + |C| - |E \cap B| - |B \cap C| - |C \cap E| + |E \cap B \cap C|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|E \cup B \cup C| = 750 + 1200 + 1350 - 250 - 550 - 300 + 100 = 2300
\]

Entonces, el número de estudiantes que **no les gusta ninguna** de las tres materias es:

\[
2500 - |E \cup B \cup C| = 2500 - 2300 = 200
\]

### Resumen de resultados

a. **Sólo una de estas materias**: 1400 estudiantes  
b. **Exactamente dos de estas tres materias**: 800 estudiantes  
c. **Ninguna de las tres materias**: 200 estudiantes  

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el procedimiento?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se aplicaría el principio de inclusión-exclusión si hubiera una cuarta materia?
2. ¿Cómo cambiarían los resultados si 200 estudiantes también estuvieran interesados en una cuarta materia, como Matemáticas?
3. ¿Cuántos estudiantes les gusta al menos una materia y no más de dos?
4. ¿Cuántos estudiantes les gusta al menos dos materias?
5. ¿Qué porcentaje de estudiantes no está interesado en ninguna de las tres materias?

**Tip:** El principio de inclusión-exclusión es una herramienta poderosa para resolver problemas de conjuntos y combinaciones. Aprender a aplicarlo correctamente puede simplificar el manejo de problemas complejos.

Explore the analysis of student preferences in Spanish, Biology, and Social Sciences. This problem uses the Principle of Inclusion-Exclusion and set theory to determine how many students like exactly one, two, or none of these subjects.

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