[2,50 puntos] En una escuela con 280 estudiantes. 90 sobresalen en
matemática, 90 en artes, 90 en biología y 10 en ninguna de las tres
asignaturas. A su vez, 10 sobresalen en las tres disciplinas. 30 en
matemáticas y artes, 30 en biología y artes y 50 en biología. ¿Cuántas
personas sobresalen en, por lo menos, una de las 3 asignaturas?

Para resolver el problema, necesitamos determinar cuántas personas sobresalen en al menos una de las tres asignaturas: matemáticas, artes o biología.

### Paso 1: Datos del problema

- Total de estudiantes: \( n = 280 \)
- Estudiantes que sobresalen en matemáticas: \( M = 90 \)
- Estudiantes que sobresalen en artes: \( A = 90 \)
- Estudiantes que sobresalen en biología: \( B = 90 \)
- Estudiantes que sobresalen en ninguna asignatura: \( N = 10 \)
- Estudiantes que sobresalen en las tres asignaturas: \( M \cap A \cap B = 10 \)
- Estudiantes que sobresalen en matemáticas y artes: \( M \cap A = 30 \)
- Estudiantes que sobresalen en biología y artes: \( B \cap A = 30 \)
- Estudiantes que sobresalen en biología y matemáticas: \( M \cap B = 50 \)

### Paso 2: Aplicar la fórmula de inclusión-exclusión

La fórmula para determinar el número de estudiantes que sobresalen en al menos una asignatura es:

\[
|M \cup A \cup B| = |M| + |A| + |B| - |M \cap A| - |A \cap B| - |B \cap M| + |M \cap A \cap B|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|M \cup A \cup B| = 90 + 90 + 90 - 30 - 30 - 50 + 10
\]

\[
|M \cup A \cup B| = 270 - 110 + 10 = 170
\]

Entonces, 170 estudiantes sobresalen en al menos una de las tres asignaturas.

### Paso 3: Verificar con el total de estudiantes

Sabemos que 10 estudiantes no sobresalen en ninguna asignatura. Por lo tanto, los estudiantes que sobresalen en al menos una asignatura deben ser:

\[
280 - 10 = 270
\]

Así que, la respuesta es correcta.

**Respuesta final:** **170** estudiantes sobresalen en al menos una de las tres asignaturas.

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el número de estudiantes que sobresalen en exactamente dos asignaturas?
2. ¿Qué sucede si cambiamos el número de estudiantes que sobresalen en las tres asignaturas?
3. ¿Cómo afecta el número de estudiantes que sobresalen en ninguna asignatura al cálculo final?
4. ¿Cuál sería el resultado si todos los estudiantes sobresalieran en al menos una asignatura?
5. ¿Cómo se interpreta gráficamente la fórmula de inclusión-exclusión?

**Tip:** Cuando resuelvas problemas de conjuntos, siempre es útil usar diagramas de Venn para visualizar las intersecciones y uniones entre los diferentes subconjuntos.

Learn how to calculate the number of students excelling in math, arts, and biology using the inclusion-exclusion principle. This problem involves set theory and requires applying the formula step-by-step to determine students excelling in at least one of the subjects. Suitable for high school students.

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