te falto esto: Un zootecnista realiza una encuesta a un grupo de hacendados del pais, con respecto a la
preferencia de razas de ganado que tienen en sus fincas, en donde se obtuvo la siguiente
información:
- 125 prefieren Brahman.
- 105 prefieren Gyr.
- 55 prefieren Holstein.
- 15 prefieren las raza Gyr y Brahman.
- 21 prefieren Brahman y Holstein.
- 21 prefieren Holstein y Gyr.
- 11 les gusta las tres razas.
Se entrevisto a un total de 290 hacendados.
a. ¿ Cuántos optan por una raza que no es de las tres mencionadas?
b. ¿ Cuantos prefieren Brahman y Holstein pero no Gyr ?
c. ¿ Cuántos optan por una sola de estas razas ?
d. ¿ Cuántos sólo prefieren la raza Brahman 

Vamos a resolver los problemas planteados utilizando el principio de inclusión-exclusión y análisis de conjuntos.

### **Datos dados:**

- Total de encuestados: \( n(U) = 290 \)
- \( |B| = 125 \) (Prefieren Brahman)
- \( |G| = 105 \) (Prefieren Gyr)
- \( |H| = 55 \) (Prefieren Holstein)
- \( |B \cap G| = 15 \) (Prefieren Brahman y Gyr)
- \( |B \cap H| = 21 \) (Prefieren Brahman y Holstein)
- \( |G \cap H| = 21 \) (Prefieren Gyr y Holstein)
- \( |B \cap G \cap H| = 11 \) (Prefieren las tres razas)

### **a. ¿Cuántos optan por una raza que no es de las tres mencionadas?**

Primero, calculamos el número de personas que prefieren al menos una de las tres razas mencionadas usando el principio de inclusión-exclusión:

\[
|B \cup G \cup H| = |B| + |G| + |H| - |B \cap G| - |B \cap H| - |G \cap H| + |B \cap G \cap H|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|B \cup G \cup H| = 125 + 105 + 55 - 15 - 21 - 21 + 11 = 239
\]

Entonces, el número de hacendados que optan por una raza que no es de las tres mencionadas es:

\[
n(U) - |B \cup G \cup H| = 290 - 239 = 51
\]

**Respuesta:** 51 hacendados.

### **b. ¿Cuántos prefieren Brahman y Holstein pero no Gyr?**

Para encontrar la cantidad de hacendados que prefieren Brahman y Holstein pero no Gyr, utilizamos:

\[
|B \cap H \cap \overline{G}| = |B \cap H| - |B \cap G \cap H|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
|B \cap H \cap \overline{G}| = 21 - 11 = 10
\]

**Respuesta:** 10 hacendados.

### **c. ¿Cuántos optan por una sola de estas razas?**

El número de hacendados que prefieren solo una raza es:

- Solo Brahman:  
\[
|B \cap \overline{G} \cap \overline{H}| = |B| - |B \cap G| - |B \cap H| + |B \cap G \cap H| = 125 - 15 - 21 + 11 = 100
\]
  
- Solo Gyr:  
\[
|G \cap \overline{B} \cap \overline{H}| = |G| - |B \cap G| - |G \cap H| + |B \cap G \cap H| = 105 - 15 - 21 + 11 = 80
\]
  
- Solo Holstein:  
\[
|H \cap \overline{B} \cap \overline{G}| = |H| - |B \cap H| - |G \cap H| + |B \cap G \cap H| = 55 - 21 - 21 + 11 = 24
\]

El total de personas que optan por una sola raza es:

\[
100 + 80 + 24 = 204
\]

**Respuesta:** 204 hacendados.

### **d. ¿Cuántos solo prefieren la raza Brahman?**

Este valor ya lo calculamos en el apartado anterior:

**Respuesta:** 100 hacendados.

---

¿Tienes alguna duda o quieres detalles adicionales sobre algún paso? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplicaría el principio de inclusión-exclusión si hubiera cuatro conjuntos?
2. ¿Qué sucede si hay hacendados que prefieren dos de las tres razas pero no la tercera?
3. ¿Cómo se representan estas operaciones de conjuntos en un diagrama de Venn?
4. ¿Qué diferencia hay entre subconjuntos y subconjuntos propios?
5. ¿Cómo se calcularían los conjuntos si los datos no fueran exactos?

**Tip:** Usar un diagrama de Venn para representar problemas de conjuntos puede ayudar a visualizar las relaciones entre los conjuntos y evitar errores al aplicar el principio de inclusión-exclusión.

Explore how to analyze survey data using set theory principles. This problem involves determining preferences for cattle breeds among farmers and applying the Principle of Inclusion-Exclusion to find various statistics. Suitable for advanced high school students and beyond.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation