resolver un triangulo de A=47º, a=17 y c=12

Para resolver el triángulo con los datos \(A = 47^\circ\), \(a = 17\), y \(c = 12\), necesitamos encontrar los valores de los ángulos \(B\) y \(C\) y el lado \(b\). Usaremos la ley de los senos y la ley de cosenos para resolverlo.

### Paso 1: Encontrar el ángulo \(C\) usando la ley de los senos

La ley de los senos establece que:

\[
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}
\]

Despejamos \(\sin(C)\):

\[
\sin(C) = \frac{c \cdot \sin(A)}{a}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
\sin(C) = \frac{12 \cdot \sin(47^\circ)}{17}
\]

Calculamos \(\sin(47^\circ)\):

\[
\sin(47^\circ) \approx 0.7314
\]

Sustituyendo:

\[
\sin(C) = \frac{12 \cdot 0.7314}{17} \approx 0.5166
\]

Ahora, encontramos \(C\) tomando el arco seno:

\[
C \approx \sin^{-1}(0.5166) \approx 31^\circ
\]

### Paso 2: Encontrar el ángulo \(B\)

Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es \(180^\circ\):

\[
B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 47^\circ - 31^\circ = 102^\circ
\]

### Paso 3: Encontrar el lado \(b\) usando la ley de los senos

Usamos la ley de los senos de nuevo:

\[
\frac{b}{\sin(B)} = \frac{a}{\sin(A)}
\]

Despejamos \(b\):

\[
b = \frac{a \cdot \sin(B)}{\sin(A)}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
b = \frac{17 \cdot \sin(102^\circ)}{\sin(47^\circ)}
\]

Calculamos \(\sin(102^\circ)\):

\[
\sin(102^\circ) \approx 0.9781
\]

Sustituyendo:

\[
b = \frac{17 \cdot 0.9781}{0.7314} \approx 22.73
\]

### Resumen de los resultados

\[
\begin{align*}
A & = 47^\circ \\
B & = 102^\circ \\
C & = 31^\circ \\
a & = 17 \\
b & = 22.73 \\
c & = 12 \\
\end{align*}
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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1. ¿Cómo se aplica la ley de cosenos en triángulos no rectángulos?
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### Consejo
Recuerda siempre verificar la suma de los ángulos internos de un triángulo, que debe ser \(180^\circ\), para asegurarte de que los cálculos son correctos.

Learn how to solve a triangle with given angle A = 47°, side a = 17, and side c = 12 using trigonometric laws. Calculate angles B and C, and side b using the Law of Sines and the Law of Cosines. Suitable for high school students learning trigonometry.

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