resolver un triangulo que tiene un ángulo de 47º  y dos lados de 17 y 12 respectivamente

Para resolver un triángulo con dos lados y un ángulo entre ellos, utilizamos la ley de los cosenos y la ley de los senos.

### Paso 1: Encontrar el tercer lado usando la ley de los cosenos

La ley de los cosenos dice que para un triángulo con lados \( a \), \( b \), y \( c \), y el ángulo \( \gamma \) opuesto al lado \( c \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \]

En nuestro caso, \( a = 17 \) cm, \( b = 12 \) cm y \( \gamma = 47^\circ \).

\[ c^2 = 17^2 + 12^2 - 2 \cdot 17 \cdot 12 \cdot \cos(47^\circ) \]

Calculamos \(\cos(47^\circ)\) usando una calculadora o tabla de cosenos:

\[ \cos(47^\circ) \approx 0.682 \]

Entonces,

\[ c^2 = 17^2 + 12^2 - 2 \cdot 17 \cdot 12 \cdot 0.682 \]
\[ c^2 = 289 + 144 - 2 \cdot 17 \cdot 12 \cdot 0.682 \]
\[ c^2 = 433 - 277.152 \]
\[ c^2 \approx 155.848 \]
\[ c \approx \sqrt{155.848} \]
\[ c \approx 12.49 \text{ cm} \]

### Paso 2: Encontrar los otros dos ángulos usando la ley de los senos

La ley de los senos dice que para un triángulo con lados \( a \), \( b \), y \( c \) y ángulos \( \alpha \), \( \beta \), y \( \gamma \):

\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \]

Ya tenemos \( \gamma = 47^\circ \), \( a = 17 \) cm, \( b = 12 \) cm y \( c \approx 12.49 \) cm. Usamos la relación:

\[ \frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{12.49}{\sin(47^\circ)} \]
Sabemos que \( \sin(47^\circ) \approx 0.731 \):

\[ \frac{12.49}{0.731} \approx 17.08 \]

Entonces, podemos encontrar \( \alpha \):

\[ \frac{17}{\sin(\alpha)} = 17.08 \]
\[ \sin(\alpha) = \frac{17}{17.08} \approx 0.995 \]
\[ \alpha \approx \sin^{-1}(0.995) \approx 84.5^\circ \]

Finalmente, encontramos \( \beta \) usando que la suma de los ángulos internos de un triángulo es \( 180^\circ \):

\[ \beta = 180^\circ - \gamma - \alpha \]
\[ \beta = 180^\circ - 47^\circ - 84.5^\circ \]
\[ \beta \approx 48.5^\circ \]

### Resumen de las soluciones

- Lados: \( a = 17 \) cm, \( b = 12 \) cm, \( c \approx 12.49 \) cm
- Ángulos: \( \alpha \approx 84.5^\circ \), \( \beta \approx 48.5^\circ \), \( \gamma = 47^\circ \)

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relativas

1. ¿Cómo se utiliza la ley de los cosenos en triángulos con otros ángulos?
2. ¿Qué sucede si el ángulo dado es mayor de 90° en la ley de los cosenos?
3. ¿Cómo se aplica la ley de los senos en triángulos no isósceles?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver un triángulo?
5. ¿Cómo se determina el área de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo entre ellos?
6. ¿Qué diferencias hay entre los métodos de resolución de triángulos agudos y obtusos?
7. ¿Cómo influye el ángulo en la longitud del tercer lado en un triángulo?
8. ¿Qué herramientas tecnológicas pueden ayudar en la resolución de triángulos?

### Tip

Recuerda que siempre puedes verificar tus resultados usando una calculadora científica o una aplicación de geometría para asegurarte de que las respuestas sean precisas.

Learn how to solve a triangle given one angle of 47° and sides 17 cm and 12 cm. This problem utilizes the Law of Cosines and Law of Sines to find the missing side and remaining angles. Suitable for high school students.

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