Resolver un triángulo mediante la ley de seno: problema tipo 2

Consideremos un triángulo ABC y supongamos que b=74,a=49, y B=52° . (La figura no está dibujada a escala.) Resolver el triángulo.
Llevar sus cálculos intermedios al menos a cuatro posiciones decimales y redondear las respuestas a la décima más cercana.
Si no existe tal triángulo, ingresar "No tiene solución." Si existe más de una solución

Para resolver el triángulo \(ABC\) utilizando la Ley de Senos, seguimos los pasos indicados a continuación. Los datos conocidos son:

- \( a = 49 \)
- \( b = 74 \)
- \( B = 52^\circ \)

La Ley de Senos establece que:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

### Paso 1: Calcular el ángulo \( A \)
Usamos la Ley de Senos para encontrar el ángulo \( A \):

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]

Despejamos \( \sin A \):

\[
\sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
\sin A = \frac{49 \cdot \sin 52^\circ}{74}
\]

Calculamos:

\[
\sin A = \frac{49 \cdot 0.7880}{74} \approx \frac{38.612}{74} \approx 0.5218
\]

Ahora, encontramos \( A \):

\[
A = \arcsin(0.5218) \approx 31.4^\circ
\]

### Posibilidad de otra solución para \( A \)
Debido a que \( \sin A = 0.5218 \), y el seno de un ángulo tiene dos posibles ángulos (uno agudo y otro obtuso) que dan el mismo valor de seno, existe una segunda posibilidad para \( A \):

\[
A_2 = 180^\circ - 31.4^\circ \approx 148.6^\circ
\]

### Paso 2: Calcular el ángulo \( C \) para cada caso
Para el primer caso (\( A_1 = 31.4^\circ \)):

\[
C_1 = 180^\circ - A_1 - B = 180^\circ - 31.4^\circ - 52^\circ \approx 96.6^\circ
\]

Para el segundo caso (\( A_2 = 148.6^\circ \)):

\[
C_2 = 180^\circ - A_2 - B = 180^\circ - 148.6^\circ - 52^\circ \approx -20.6^\circ
\]

Dado que un ángulo negativo no es posible en un triángulo, descartamos la segunda solución.

### Paso 3: Calcular el lado \( c \) para el primer caso
Usamos la Ley de Senos para encontrar el lado \( c \) en el primer caso:

\[
\frac{c}{\sin C_1} = \frac{b}{\sin B}
\]

Despejamos \( c \):

\[
c = \frac{b \cdot \sin C_1}{\sin B}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
c = \frac{74 \cdot \sin 96.6^\circ}{\sin 52^\circ}
\]

Calculamos:

\[
c = \frac{74 \cdot 0.9978}{0.7880} \approx \frac{73.8292}{0.7880} \approx 93.7
\]

### Resumen de la solución

- \( A = 31.4^\circ \)
- \( B = 52^\circ \)
- \( C = 96.6^\circ \)
- \( a = 49 \)
- \( b = 74 \)
- \( c \approx 93.7 \)

### Conclusión
Existe una única solución para el triángulo con los valores dados:

- \( A = 31.4^\circ \)
- \( C = 96.6^\circ \)
- \( c = 93.7 \)

¿Te gustaría alguna explicación adicional o tienes más preguntas?

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**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Qué sucede si \( \sin A \) resulta ser mayor que 1?
2. ¿Cómo resolver un triángulo cuando \( A \) y \( C \) son conocidos?
3. ¿Qué otros métodos existen para resolver triángulos si no se puede aplicar la Ley de Senos?
4. ¿Cómo afecta la precisión en el cálculo de senos a la solución de un triángulo?
5. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que un triángulo tenga dos soluciones posibles?
6. ¿Cómo se utiliza la Ley de Senos en problemas de navegación?
7. ¿Cuál es la diferencia entre la Ley de Senos y la Ley de Cosenos?
8. ¿Cómo influye un ángulo obtuso en la resolución de un triángulo?

**Tip:** En problemas de triángulos, siempre verifica las dos posibles soluciones cuando trabajas con la Ley de Senos.

Learn how to solve a triangle using the Law of Sines with a step-by-step explanation. Given triangle ABC with sides a = 49, b = 74, and angle B = 52 degrees. Includes detailed calculations and rounded answers. Suitable for high school students studying trigonometry.

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