Demuestre que para todo n 1 se cumple la igualdad
 3 +11+...... +(8n 5)=4n2 n

Vamos a demostrar que para todo \( n \geq 1 \) se cumple la siguiente igualdad:

\[
3 + 11 + 19 + \dots + (8n - 5) = 4n^2 + n
\]

### Paso 1: Identificar la suma

La serie dada es una progresión aritmética, donde el primer término \( a_1 \) es 3, la diferencia común \( d \) es 8, y el término general está dado por:

\[
a_n = 8n - 5
\]

Esto significa que los términos de la serie son:

\[
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n
\]

Donde cada \( a_k = 8k - 5 \). Entonces la serie se puede escribir como:

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} (8k - 5)
\]

### Paso 2: Descomponer la suma

La suma anterior se puede descomponer en dos partes:

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k - \sum_{k=1}^{n} 5
\]

Es decir:

\[
S_n = 8 \sum_{k=1}^{n} k - 5 \sum_{k=1}^{n} 1
\]

### Paso 3: Calcular las sumas

Sabemos que:

\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Y:

\[
\sum_{k=1}^{n} 1 = n
\]

Sustituyendo esto en la ecuación para \( S_n \), obtenemos:

\[
S_n = 8 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) - 5n
\]

### Paso 4: Simplificar

Primero simplificamos el primer término:

\[
8 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) = 4n(n+1) = 4n^2 + 4n
\]

Ahora restamos el segundo término:

\[
S_n = 4n^2 + 4n - 5n
\]

\[
S_n = 4n^2 - n
\]

### Paso 5: Conclusión

Hemos demostrado que:

\[
S_n = 4n^2 + n
\]

Por lo tanto, la igualdad se cumple.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas para expandir el tema:

1. ¿Qué es una progresión aritmética y cómo se identifica?
2. ¿Cómo se deducen las fórmulas de sumas de series aritméticas?
3. ¿Qué otras formas hay de demostrar la misma identidad?
4. ¿Cómo se calculan sumas de series más complejas que incluyen varios tipos de términos?
5. ¿Qué aplicaciones tiene esta fórmula en problemas más avanzados?

**Tip:** Al descomponer una suma, intenta identificar patrones o simplificaciones como progresiones aritméticas o geométricas para facilitar el cálculo.

Demuestre que para todo n ≥ 1 se cumple la igualdad 3 + 11 + ...... +(8n - 5) = 4n² - n

Explore how to prove the summation formula for an arithmetic progression: 3 + 11 + ... + (8n - 5) = 4n² - n. This detailed step-by-step solution covers key algebraic concepts and theorems related to arithmetic series. Perfect for students in Grades 10-12.

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