Resuelve el problema:



En una prueba de matemáticas las preguntas estaban ordenadas según dificultad. La primera valía cuatro puntos y cada una de las restantes valía dos puntos más que la anterior. Si en total cuentan 54 puntos. ¿Cuántas preguntas tenía el examen?. Explica el procedimiento.

Este problema puede resolverse usando la fórmula de la **suma de una progresión aritmética**, ya que las preguntas del examen están organizadas de manera que la cantidad de puntos asignada a cada pregunta aumenta de forma constante.

### Paso 1: Plantear la progresión aritmética
Sabemos que la primera pregunta valía 4 puntos y que cada pregunta subsiguiente valía 2 puntos más que la anterior. Entonces, el valor de los puntos sigue una progresión aritmética de la siguiente forma:

- El primer término (\(a_1\)) es 4.
- La diferencia común (\(d\)) es 2.
- La suma total de los puntos de todas las preguntas es 54.

Queremos encontrar el número de preguntas, es decir, el número de términos de esta progresión aritmética.

### Paso 2: Usar la fórmula de la suma de una progresión aritmética

La fórmula para la suma de los \(n\) términos de una progresión aritmética es:

\[
S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)
\]

Donde:
- \(S_n\) es la suma total de los \(n\) términos (en este caso 54 puntos),
- \(a_1\) es el primer término (4 puntos),
- \(a_n\) es el último término (el valor de la última pregunta).

No conocemos aún \(a_n\), pero sí sabemos que está relacionado con \(a_1\) y \(n\), ya que la progresión tiene una diferencia constante \(d = 2\). La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética es:

\[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
a_n = 4 + (n - 1) \cdot 2 = 4 + 2n - 2 = 2n + 2
\]

### Paso 3: Sustituir en la fórmula de la suma

Ahora podemos sustituir \(a_1 = 4\) y \(a_n = 2n + 2\) en la fórmula de la suma:

\[
54 = \frac{n}{2} \times (4 + (2n + 2))
\]

Simplificando la expresión:

\[
54 = \frac{n}{2} \times (2n + 6)
\]

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para eliminar la fracción:

\[
108 = n \times (2n + 6)
\]

Distribuimos el \(n\):

\[
108 = 2n^2 + 6n
\]

### Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática

Reorganizamos la ecuación para que quede en forma estándar:

\[
2n^2 + 6n - 108 = 0
\]

Dividimos entre 2 para simplificar:

\[
n^2 + 3n - 54 = 0
\]

Ahora resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \(a = 1\), \(b = 3\) y \(c = -54\). Sustituimos estos valores en la fórmula:

\[
n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-54)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2}
\]

\[
n = \frac{-3 \pm 15}{2}
\]

Obtenemos dos posibles soluciones:

\[
n = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6
\]
\[
n = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9
\]

Dado que el número de preguntas no puede ser negativo, la única solución válida es:

\[
n = 6
\]

### Respuesta final:
El examen tenía **6 preguntas**.

---

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el enésimo término en una progresión aritmética?
2. ¿Qué otras aplicaciones tiene la fórmula de la suma de una progresión aritmética?
3. ¿Cómo afecta la diferencia común al crecimiento de una progresión aritmética?
4. ¿Qué sucede si la diferencia común es negativa en una progresión aritmética?
5. ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas que no tienen raíces exactas?

**Tip:** La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es una herramienta versátil en muchos problemas algebraicos.

En una prueba de matemáticas las preguntas estaban ordenadas según dificultad. La primera valía cuatro puntos y cada una de las restantes valía dos puntos más que la anterior. Si en total cuentan 54 puntos. ¿Cuántas preguntas tenía el examen?

Learn how to solve a math problem involving an arithmetic progression where the points assigned to each question increase by 2. This detailed solution covers the sum of an arithmetic progression, solving quadratic equations, and is ideal for Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation