$$
\mathbf{w}_{k}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}_i\mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k
$$
对wk求导的结果是什么

要对表达式

$$
\mathbf{w}_{k}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}_i\mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k
$$

求导数 $ \mathbf{w}_k $，可以遵循以下步骤：

1. **确认维度和符号**：  
   - $ \mathbf{w}_k $ 是 $ n \times 1 $ 的列向量。
   - $ \mathbf{h}_i $ 是 $ n \times 1 $ 的列向量。
   - $ \mathbf{w}_k^{\mathrm{H}} $ 是 $ 1 \times n $ 的行向量。

2. **利用复合函数求导公式**：  
   - 表达式可以重新写成 $ (\mathbf{w}_{k}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}_i)(\mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k) $，其中前后两个部分均为标量。

3. **求导**：  
   首先对 $ \mathbf{w}_k^{\mathrm{H}}\mathbf{h}_i $ 求导：
   $$
   \frac{\partial (\mathbf{w}_k^{\mathrm{H}}\mathbf{h}_i)}{\partial \mathbf{w}_k} = \mathbf{h}_i
   $$
   然后对 $ \mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k $ 求导：
   $$
   \frac{\partial (\mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k)}{\partial \mathbf{w}_k} = \mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}
   $$

   使用复合函数求导法则：
   $$
   \frac{\partial (\mathbf{w}_{k}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}_i\mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k)}{\partial \mathbf{w}_k} = 2\mathbf{h}_i\mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k
   $$
   因为这个表达式是一个复值二次形式，所以会产生一个额外的因子2。

最终，导数结果为：

$$
\frac{\partial (\mathbf{w}_{k}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}_i\mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k)}{\partial \mathbf{w}_k} = 2\mathbf{h}_i\mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\mathbf{w}_k
$$

### 有关的问题
1. 如果对 $ \mathbf{w}_k $ 求导时没有考虑复合形式会有什么影响？
2. 在不同应用中，复向量导数与实向量导数有何不同？
3. 该导数结果在信号处理中如何应用？
4. 对导数过程引入正则化项会带来什么变化？
5. 为什么会出现因子2？

### 小提示
在处理复数向量的导数时，记得复共轭转置的影响，特别是在涉及复二次形式时。

Learn how to compute the derivative of the quadratic form w_k^H h_i h_i^H w_k with respect to wk. This involves vector and matrix calculus techniques, focusing on gradients and complex conjugate transposes. Suitable for advanced undergraduate and graduate students.

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