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Halle la fórmula para el área sombreada en la figura 

Para hallar el área sombreada en la figura, necesitamos calcular el área del rectángulo y restarle el área del círculo inscrito en él.

### Paso 1: Área del rectángulo
Las dimensiones del rectángulo están dadas por:

- Largo: \(5x + 1\)
- Ancho: \(2x + 5\)

El área del rectángulo \(A_{\text{rect}}\) se calcula multiplicando el largo por el ancho:

\[
A_{\text{rect}} = (5x + 1)(2x + 5)
\]

### Paso 2: Área del círculo
El radio del círculo está dado como \(3x\). El área del círculo \(A_{\text{circ}}\) se calcula usando la fórmula del área de un círculo \(A = \pi r^2\):

\[
A_{\text{circ}} = \pi (3x)^2 = 9\pi x^2
\]

### Paso 3: Área sombreada
El área sombreada \(A_{\text{som}}\) se obtiene restando el área del círculo del área del rectángulo:

\[
A_{\text{som}} = A_{\text{rect}} - A_{\text{circ}}
\]

Sustituyendo las expresiones obtenidas:

\[
A_{\text{som}} = (5x + 1)(2x + 5) - 9\pi x^2
\]

### Paso 4: Expansión del área del rectángulo
Ahora, expandimos el producto para obtener el área del rectángulo:

\[
A_{\text{rect}} = (5x)(2x) + (5x)(5) + (1)(2x) + (1)(5)
\]
\[
A_{\text{rect}} = 10x^2 + 25x + 2x + 5 = 10x^2 + 27x + 5
\]

### Resultado final:
Sustituyendo en la expresión para el área sombreada:

\[
A_{\text{som}} = 10x^2 + 27x + 5 - 9\pi x^2
\]

Este es el área sombreada en la figura.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se resolvería para un valor específico de \(x\)?
2. ¿Cómo se compara el área sombreada con el área del círculo?
3. ¿Qué ocurre con el área sombreada si \(x\) es muy pequeño o muy grande?
4. ¿Podrías hallar el perímetro de la región sombreada?
5. ¿Qué otras formas geométricas podrían estar inscritas en un rectángulo, y cómo se calcularían sus áreas?

### Tip:
Recuerda siempre verificar las unidades al calcular áreas, especialmente si las dimensiones no están dadas en la misma unidad.

Aprende cómo hallar el área sombreada en una figura usando un rectángulo y un círculo inscrito. Incluye paso a paso las fórmulas para el cálculo del área del rectángulo y el área del círculo, con ejemplos detallados. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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