Se estima que el precio p (USD) de cada unidad de cierto artículo cambia a
USD
-135t
razón de p' =-135t sobre raiz(9+t elevado al cuadrado)
donde t unidades es la demanda del
unidad
consumidor. Suponga que se demandan 4 unidades cuando el precio es $30 la
unidad.
a) Hallar la función de demanda p en función de t.
b) ¿A qué precio se demandarán 3 unidades?
c) ¿Cuántas unidades se demandan a $20 la unidad?

Para resolver este problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

1. Encontrar la función de demanda $ p $ en función de $ t $.
2. Calcular el precio al cual se demandan 3 unidades.
3. Determinar cuántas unidades se demandan a $20 por unidad.

### a) Hallar la función de demanda $ p $ en función de $ t $

Se nos da que:

\[
p' = \frac{-135t}{\sqrt{9 + t^2}}
\]

Para encontrar $ p $, necesitamos integrar esta expresión con respecto a $ t $:

\[
p(t) = \int \frac{-135t}{\sqrt{9 + t^2}} \, dt
\]

Podemos usar la sustitución $ u = 9 + t^2 $, lo que implica que $ du = 2t \, dt $, o $ t \, dt = \frac{1}{2} du $. Entonces, la integral se convierte en:

\[
p(t) = -135 \int \frac{t}{\sqrt{9 + t^2}} \, dt = -135 \int \frac{t}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2t}
\]

\[
p(t) = -\frac{135}{2} \int u^{-1/2} \, du
\]

\[
p(t) = -\frac{135}{2} \cdot 2\sqrt{u} + C = -135\sqrt{9 + t^2} + C
\]

### Determinar la constante de integración $ C $:

Se nos da que cuando se demandan 4 unidades ($ t = 4 $), el precio es $30:

\[
p(4) = -135\sqrt{9 + 4^2} + C = 30
\]

\[
-135\sqrt{9 + 16} + C = 30
\]

\[
-135\sqrt{25} + C = 30
\]

\[
-135 \cdot 5 + C = 30
\]

\[
-675 + C = 30
\]

\[
C = 705
\]

Entonces, la función de demanda $ p(t) $ es:

\[
p(t) = -135\sqrt{9 + t^2} + 705
\]

### b) ¿A qué precio se demandarán 3 unidades?

Sustituimos $ t = 3 $ en la función de demanda $ p(t) $:

\[
p(3) = -135\sqrt{9 + 3^2} + 705
\]

\[
p(3) = -135\sqrt{9 + 9} + 705
\]

\[
p(3) = -135\sqrt{18} + 705
\]

\[
p(3) = -135 \cdot 3\sqrt{2} + 705
\]

\[
p(3) = -405\sqrt{2} + 705
\]

Aproximando $ \sqrt{2} \approx 1.414 $:

\[
p(3) \approx -405 \cdot 1.414 + 705
\]

\[
p(3) \approx -573 + 705
\]

\[
p(3) \approx 132
\]

### c) ¿Cuántas unidades se demandan a $20 la unidad?

Necesitamos resolver $ p(t) = 20 $:

\[
-135\sqrt{9 + t^2} + 705 = 20
\]

\[
-135\sqrt{9 + t^2} = 20 - 705
\]

\[
-135\sqrt{9 + t^2} = -685
\]

\[
\sqrt{9 + t^2} = \frac{685}{135}
\]

\[
\sqrt{9 + t^2} = \frac{137}{27}
\]

Elevamos al cuadrado ambos lados:

\[
9 + t^2 = \left(\frac{137}{27}\right)^2
\]

\[
9 + t^2 = \frac{18769}{729}
\]

\[
t^2 = \frac{18769}{729} - 9
\]

\[
t^2 = \frac{18769}{729} - \frac{6561}{729}
\]

\[
t^2 = \frac{12208}{729}
\]

\[
t = \sqrt{\frac{12208}{729}}
\]

\[
t \approx 4.12
\]

Por lo tanto, aproximadamente se demandan 4.12 unidades cuando el precio es $20 por unidad.

### Resumen:

- La función de demanda $ p(t) $ es $ p(t) = -135\sqrt{9 + t^2} + 705 $.
- El precio para 3 unidades es aproximadamente $132.
- Aproximadamente 4.12 unidades se demandan a $20 por unidad.

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

**Preguntas de seguimiento:**
1. ¿Cómo se podría resolver la ecuación de demanda usando métodos numéricos?
2. ¿Qué sucede con el precio cuando $ t $ tiende a infinito?
3. ¿Cómo cambiarían las respuestas si se dieran otras condiciones iniciales?
4. ¿Podemos encontrar un punto de equilibrio para este modelo de demanda?
5. ¿Qué interpretación económica tiene la constante de integración $ C $?

**Tip:** Utiliza gráficos para visualizar mejor la relación entre demanda y precio.

Explore how to calculate a demand function based on price and quantity using calculus methods. Learn step-by-step how to integrate the given rate of change function to find the demand function, determine prices for specific quantities, and analyze economic implications. Suitable for college-level students.

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