Con un poligono de 18cm x 18cm se quiere construir una caja sin tapa, maximizando el area y recortando cuadrados en las esquinas. Dando Soluciones a los siguientes puntos. 1.- Construir la funcion que queremos maximizar, explicando como se obtuvo 

Para construir una caja sin tapa a partir de un polígono de \(18 \, \text{cm} \times 18 \, \text{cm}\), necesitamos cortar cuadrados de tamaño \(x \times x\) en cada una de las cuatro esquinas y luego doblar los lados hacia arriba para formar las paredes de la caja.

### 1. Construcción de la Función a Maximizar

#### Paso 1: Definir las dimensiones de la base de la caja
Cuando cortamos cuadrados de lado \(x\) en cada esquina del polígono, las dimensiones de la base de la caja serán reducidas en \(2x\) tanto en la longitud como en la anchura. Por lo tanto, las nuevas dimensiones de la base de la caja serán:

- **Longitud de la base**: \(18 - 2x\)
- **Anchura de la base**: \(18 - 2x\)

#### Paso 2: Expresión del volumen de la caja
El volumen \(V\) de la caja sin tapa se puede expresar como:

\[
V = \text{longitud} \times \text{anchura} \times \text{altura}
\]

Dado que la altura de la caja será igual al lado de los cuadrados que se cortaron (\(x\)), el volumen se expresa como:

\[
V(x) = (18 - 2x)(18 - 2x)x
\]

#### Paso 3: Expandir y simplificar la función
Expandimos y simplificamos la expresión para \(V(x)\):

\[
V(x) = (18 - 2x)^2 \cdot x
\]

Primero, expandimos \((18 - 2x)^2\):

\[
(18 - 2x)^2 = 18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 2x + (2x)^2 = 324 - 72x + 4x^2
\]

Entonces, la función del volumen se convierte en:

\[
V(x) = (324 - 72x + 4x^2)x
\]

Distribuimos \(x\) en cada término:

\[
V(x) = 324x - 72x^2 + 4x^3
\]

Esta es la función cúbica que queremos maximizar. **Queremos encontrar el valor de \(x\) que maximiza esta función.**

### Explicación de cómo se obtuvo la función:

1. **Dimensiones de la base de la caja**: Al cortar cuadrados de \(x \times x\) en las esquinas, reducimos las dimensiones de la base de la caja en \(2x\) para ambos lados, lo que da \((18 - 2x)\) como longitud y anchura.
2. **Altura de la caja**: La altura de la caja es simplemente el lado de los cuadrados cortados, que es \(x\).
3. **Volumen de la caja**: Multiplicamos la longitud, la anchura, y la altura de la caja para obtener el volumen.
4. **Expansión y simplificación**: Expandimos el cuadrado binomial y luego distribuimos \(x\) para encontrar la forma cúbica de la función del volumen.

¿Te gustaría que continuemos con la maximización de la función, o tienes alguna pregunta específica?

### Preguntas relacionadas

1. ¿Cómo podemos encontrar el valor de \(x\) que maximiza el volumen de la caja?
2. ¿Cuál es el volumen máximo posible para la caja?
3. ¿Qué pasa si el tamaño del polígono cambia, cómo afecta esto a la función de volumen?
4. ¿Por qué es importante considerar los límites de \(x\) al maximizar esta función?
5. ¿Cómo influye el cálculo del volumen en otras aplicaciones prácticas, como diseño de empaques?

**Tip:** En problemas de optimización, siempre es crucial definir claramente las variables y sus restricciones antes de intentar maximizar o minimizar cualquier función.

Learn how to maximize the volume of an open box formed from an 18cm x 18cm polygon by cutting squares from each corner. This problem involves geometric concepts, quadratic function optimization, and volume calculation. Suitable for advanced high school students.

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