Con un poligono de 18cm x 18cm se quiere construir una caja sin tapa, maximizando el area y recortando cuadrados en las esquinas. Dando soluciones a los siguientes puntos: a)Construir la funcion que queremos maximizar, explicando como se obtuvo 

Para resolver este problema, primero tenemos que entender que estamos tratando de maximizar el volumen de una caja que se forma al cortar cuadrados de las esquinas de un polígono (que en este caso es un cuadrado) y luego plegar los lados hacia arriba para formar la caja sin tapa.

### Paso 1: Definir las variables

- Sea \( x \) el lado del cuadrado que se recorta en cada esquina.
- El lado del cuadrado original es de \( 18 \) cm.

### Paso 2: Dimensiones de la base de la caja

Después de cortar los cuadrados de tamaño \( x \times x \) en cada esquina, las dimensiones de la base de la caja serán:

- Largo y ancho: \( 18 - 2x \) cm
- Altura de la caja: \( x \) cm (que es la altura después de plegar los lados)

### Paso 3: Volumen de la caja

El volumen \( V \) de la caja se calcula como el producto del área de la base y la altura:

\[
V(x) = (18 - 2x) \times (18 - 2x) \times x = (18 - 2x)^2 \times x
\]

### Paso 4: Función a maximizar

La función que queremos maximizar es el volumen \( V(x) \), que depende de la variable \( x \). Esta función es:

\[
V(x) = x(18 - 2x)^2
\]

### Explicación de cómo se obtuvo

1. **Dimensiones después de los recortes**: Al recortar un cuadrado de \( x \) cm en cada esquina, las nuevas dimensiones de la base del cuadrado son \( 18 - 2x \) cm tanto de largo como de ancho.
2. **Volumen de la caja**: Multiplicamos el área de la base \( (18 - 2x) \times (18 - 2x) \) por la altura de la caja \( x \) para obtener el volumen. Esto da la función \( V(x) = x(18 - 2x)^2 \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas Relativas:**

1. ¿Cómo se determina el valor de \( x \) que maximiza el volumen?
2. ¿Cuáles son las restricciones sobre el valor de \( x \)?
3. ¿Cómo se encuentra el máximo valor del volumen usando derivadas?
4. ¿Qué sucede con el volumen si \( x \) es muy grande o muy pequeño?
5. ¿Cómo cambia la función si el polígono original no es un cuadrado?

**Tip**: Siempre revisa las unidades al trabajar con funciones de maximización para asegurarte de que la solución tiene sentido en el contexto físico del problema.

Explore how to maximize the volume of a box formed by cutting squares from corners of an 18cm x 18cm square. Learn the step-by-step solution and the formula used to calculate the maximum volume. Suitable for advanced high school students.

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