Se desea construir una caja rectangular, abierta por arriba, cortando cuadrados de lado x de las esquinas de una pieza de cartón que mide 12 x 16cm ¿Cuánto debe ser el valor de x para que la caja tenga el mayor volumen posible? ¿cuál es ese volumen máximo?

Para resolver este problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

### 1. **Expresión del volumen de la caja:**

Al cortar cuadrados de lado \( x \) de las esquinas del cartón, las dimensiones de la base de la caja serán \( (12 - 2x) \) y \( (16 - 2x) \), y la altura de la caja será \( x \).

Por lo tanto, el volumen \( V \) de la caja se expresa como:

\[
V(x) = x \cdot (12 - 2x) \cdot (16 - 2x)
\]

### 2. **Expansión y simplificación de la función de volumen:**

Expandimos la función para simplificar:

\[
V(x) = x \cdot (192 - 32x - 24x + 4x^2) = x \cdot (4x^2 - 56x + 192)
\]

Entonces:

\[
V(x) = 4x^3 - 56x^2 + 192x
\]

### 3. **Derivada de la función de volumen:**

Para encontrar el valor de \( x \) que maximiza el volumen, derivamos \( V(x) \) con respecto a \( x \) y la igualamos a cero:

\[
V'(x) = 12x^2 - 112x + 192
\]

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

\[
12x^2 - 112x + 192 = 0
\]

### 4. **Resolución de la ecuación cuadrática:**

Simplificamos la ecuación dividiendo todo entre 4:

\[
3x^2 - 28x + 48 = 0
\]

Resolviendo esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde \( a = 3 \), \( b = -28 \), y \( c = 48 \). Calculamos:

\[
x = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 576}}{6} = \frac{28 \pm \sqrt{208}}{6}
\]

\[
x = \frac{28 \pm 14.42}{6}
\]

Esto da dos soluciones:

\[
x_1 = \frac{42.42}{6} \approx 7.07 \quad \text{(descartado porque excede las dimensiones del cartón)}
\]

\[
x_2 = \frac{13.58}{6} \approx 2.26
\]

### 5. **Cálculo del volumen máximo:**

Evaluamos el volumen en \( x = 2.26 \):

\[
V(2.26) = 4(2.26)^3 - 56(2.26)^2 + 192(2.26)
\]

Calculando:

\[
V(2.26) \approx 4(11.57) - 56(5.11) + 434.88
\]

\[
V(2.26) \approx 46.28 \, \text{cm}^3
\]

Por lo tanto, **el valor de \( x \) que maximiza el volumen es aproximadamente 2.26 cm, y el volumen máximo es de aproximadamente 46.28 cm³.**

¿Te gustaría ver más detalles sobre los cálculos o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se comporta la función del volumen para diferentes valores de \( x \)?
2. ¿Qué sucede si la caja tuviera una tapa? ¿Cómo cambiarían los cálculos?
3. ¿Cuál sería el volumen si \( x = 1 \) cm? ¿Cómo se compara con el volumen máximo?
4. ¿Qué significan los puntos críticos en el contexto de maximizar el volumen?
5. ¿Cómo se puede verificar que este valor de \( x \) realmente maximiza el volumen?

**Tip:** Al resolver problemas de optimización, la derivada te ayuda a encontrar máximos y mínimos al identificar puntos críticos, pero siempre verifica si son máximos o mínimos evaluando la segunda derivada o analizando el comportamiento de la función.

Discover how to maximize the volume of a rectangular box by cutting squares from the corners of a 12x16 cm cardboard. This problem covers key algebraic concepts, including optimization, derivatives, and the quadratic formula. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation