Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es 𝐶(0; 0) y cuyo radio es igual a la 
distancia entre el origen de coordenadas y la recta  6𝑥 − 8𝑦 − 12 = 0. 

Para determinar la ecuación de la circunferencia, necesitamos el radio. Nos dicen que el centro de la circunferencia es \(C(0,0)\) y que el radio es la distancia entre el origen \((0,0)\) y la recta \(6x - 8y - 12 = 0\).

### Paso 1: Fórmula de la distancia de un punto a una recta
La fórmula para la distancia \(d\) entre un punto \((x_1, y_1)\) y una recta de la forma \(Ax + By + C = 0\) es:
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
En este caso, el punto es \((0,0)\) y la ecuación de la recta es \(6x - 8y - 12 = 0\), donde \(A = 6\), \(B = -8\) y \(C = -12\).

### Paso 2: Aplicamos la fórmula
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
d = \frac{|6(0) - 8(0) - 12|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{|0 - 0 - 12|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{12}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10} = 1.2
\]
Así que el radio de la circunferencia es \(r = 1.2\).

### Paso 3: Ecuación de la circunferencia
La ecuación general de una circunferencia con centro en \((h,k)\) y radio \(r\) es:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
Dado que el centro es \(C(0,0)\) y el radio es \(r = 1.2\), la ecuación de la circunferencia será:
\[
x^2 + y^2 = (1.2)^2 = 1.44
\]

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
\[
x^2 + y^2 = 1.44
\]

### ¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles sobre el proceso?

Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas para practicar más:

1. ¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos en un plano?
2. ¿Cómo afecta el signo del término independiente en la fórmula de la distancia punto-recta?
3. ¿Qué sucede con la ecuación de la circunferencia si el radio es mayor?
4. ¿Cómo se transforma la ecuación de una circunferencia si el centro no está en el origen?
5. ¿Qué relación existe entre el radio de una circunferencia y la tangente a una recta?

**Tip:** Si la circunferencia tiene su centro en el origen, su ecuación se simplifica notablemente a la forma \(x^2 + y^2 = r^2\).

Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es 𝐶(0; 0) y cuyo radio es igual a la distancia entre el origen de coordenadas y la recta 6𝑥 − 8𝑦 − 12 = 0.

Descubre cómo determinar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio igual a la distancia entre el origen y la recta 6x - 8y - 12 = 0. Aprende sobre fórmulas clave como la distancia punto-recta y la ecuación general de una circunferencia. Este problema es adecuado para estudiantes de Grados 9-11.

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