https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1724723167280jllheexe.jpg

demonstre esse teorema de acordo com o teorema da compressão

O enunciado na imagem diz o seguinte:

"Se \(\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0\), então \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)."

Vamos demonstrar isso usando o Teorema da Compressão (ou Teorema do Sanduíche).

### Demonstração:
O Teorema da Compressão afirma que, se temos três sequências \( a_n \), \( b_n \) e \( c_n \) tais que:

\[
b_n \leq a_n \leq c_n, \quad \text{para todo } n \geq N,
\]
e se \(\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L\), então \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\).

#### Passo 1: Considerar as sequências \(|a_n|\) e \(-|a_n|\).
Temos que:

\[
-|a_n| \leq a_n \leq |a_n|.
\]

#### Passo 2: Analisar os limites das sequências \(-|a_n|\) e \(|a_n|\).
Sabemos que \(\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0\) por hipótese. Portanto:

\[
\lim_{n \to \infty} -|a_n| = -0 = 0
\]
e
\[
\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0.
\]

#### Passo 3: Aplicar o Teorema da Compressão.
Pelo Teorema da Compressão, como \(-|a_n| \leq a_n \leq |a_n|\) e tanto \(\lim_{n \to \infty} -|a_n|\) quanto \(\lim_{n \to \infty} |a_n|\) são iguais a \(0\), temos que:

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = 0.
\]

Portanto, demonstramos que se \(\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0\), então \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

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Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas ao tema:
1. Como o Teorema da Compressão pode ser aplicado em outras situações?
2. Qual é a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional?
3. Como se define formalmente a sequência \(|a_n|\)?
4. O que acontece se \(\lim_{n \to \infty} |a_n|\) não for igual a 0?
5. Pode uma sequência \(a_n\) convergir a um valor diferente de 0 se \(\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0\)?

**Dica:** Quando estiver estudando limites de sequências, tente sempre visualizar o comportamento dos termos iniciais da sequência para ter uma intuição sobre sua convergência.

Aprenda como demonstrar o Teorema da Compressão para sequências, com foco no limite de a_n. Esta demonstração envolve a aplicação do Teorema da Compressão (ou Teorema do Sanduíche), um conceito fundamental em análise matemática. Indicado para estudantes e profissionais interessados em análise de sequências e teoremas de limite.

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