 Sea la elipse de ecuación x²+4y²-4x=0. Obtener la ecuación cartesiana ordinaria de la circunferencia con centro en el punto C(2,2) y que contiene al centro de la elipse.


Para obtener la ecuación cartesiana ordinaria de la circunferencia con centro en el punto \( C(2, 2) \) y que contiene al centro de la elipse dada por la ecuación \( x^2 + 4y^2 - 4x = 0 \), seguiremos estos pasos:

### 1. **Encontrar el centro de la elipse**
La ecuación de la elipse dada es:
\[
x^2 + 4y^2 - 4x = 0
\]
Primero, reescribimos la ecuación en una forma más clara. Completamos el cuadrado en la parte de \( x \):

\[
(x^2 - 4x) + 4y^2 = 0
\]

Para completar el cuadrado en \( x^2 - 4x \), agregamos y restamos \( 4 \) (que es \((\frac{4}{2})^2\)):

\[
(x^2 - 4x + 4) - 4 + 4y^2 = 0
\]
\[
(x - 2)^2 + 4y^2 = 4
\]

Dividimos ambos lados por 4 para obtener la ecuación estándar de la elipse:

\[
\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1
\]

De aquí, se puede ver que el centro de la elipse es \( (2, 0) \).

### 2. **Ecuación de la circunferencia**
Ahora, queremos encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en \( C(2, 2) \) que contenga al centro de la elipse \( (2, 0) \).

El radio \( r \) de la circunferencia será la distancia entre \( C(2, 2) \) y \( (2, 0) \):

\[
r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2
\]

### 3. **Ecuación cartesiana de la circunferencia**
La ecuación general de una circunferencia con centro en \( (h, k) \) y radio \( r \) es:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
Sustituyendo \( h = 2 \), \( k = 2 \) y \( r = 2 \):

\[
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4
\]

### 4. **Forma expandida de la ecuación**
Si expandimos esta ecuación:

\[
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4
\]
\[
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 4
\]
\[
x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 = 4
\]
\[
x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0
\]

Por lo tanto, la ecuación cartesiana ordinaria de la circunferencia es:

\[
\boxed{x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0}
\]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se completa el cuadrado para convertir una ecuación de segundo grado en su forma estándar?
2. ¿Cómo se encuentra el radio de una circunferencia si se conocen dos puntos en la circunferencia?
3. ¿Cuál es la relación entre la elipse y la circunferencia en términos de geometría analítica?
4. ¿Qué significan los coeficientes en la ecuación general de una circunferencia?
5. ¿Cómo se determina si un punto específico está dentro, fuera o sobre una circunferencia dada su ecuación?

**Tip:** Cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas, completar el cuadrado es una técnica poderosa para convertir ecuaciones en formas estándar y así obtener información clave como centros y radios.

Aprende cómo encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 2) que contiene al centro de la elipse x² + 4y² - 4x = 0. Este problema abarca conceptos clave de geometría, incluyendo la forma estándar de la elipse y la ecuación de una circunferencia. Adecuado para estudiantes de secundaria.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation