Determinar la ecuación ordinaria y general de una circunferencia si su centro es de (-9,0) y su radio de 4

Para determinar las ecuaciones de la circunferencia con centro en \((-9, 0)\) y radio \(r = 4\), seguimos los siguientes pasos:

### 1. **Ecuación ordinaria de la circunferencia:**
La ecuación ordinaria de una circunferencia con centro en \((h, k)\) y radio \(r\) es:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

En este caso, el centro es \((h, k) = (-9, 0)\) y el radio es \(r = 4\). Sustituyendo estos valores en la fórmula:

\[
(x + 9)^2 + (y - 0)^2 = 4^2
\]

Simplificando:

\[
(x + 9)^2 + y^2 = 16
\]

Esta es la **ecuación ordinaria** de la circunferencia.

### 2. **Ecuación general de la circunferencia:**
La ecuación general de la circunferencia se obtiene expandiendo la ecuación ordinaria. Partimos de:

\[
(x + 9)^2 + y^2 = 16
\]

Expandiendo \((x + 9)^2\):

\[
(x^2 + 18x + 81) + y^2 = 16
\]

Reorganizando la ecuación:

\[
x^2 + y^2 + 18x + 81 = 16
\]

Restando 16 a ambos lados:

\[
x^2 + y^2 + 18x + 65 = 0
\]

Esta es la **ecuación general** de la circunferencia.

### Resumen:
- **Ecuación ordinaria:** \((x + 9)^2 + y^2 = 16\)
- **Ecuación general:** \(x^2 + y^2 + 18x + 65 = 0\)

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra el radio de una circunferencia dada su ecuación ordinaria?
2. ¿Cómo se completa el cuadrado para transformar una ecuación general en una ecuación ordinaria?
3. ¿Qué representa cada término en la ecuación general de una circunferencia?
4. ¿Cómo se determina si una ecuación representa una circunferencia, elipse, o parábola?
5. ¿Cómo se puede determinar el punto más cercano al origen en una circunferencia dada?

### Tip:
Recuerda que la ecuación general de una circunferencia es siempre de la forma \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), donde \(D\), \(E\), y \(F\) son constantes que dependen del centro y el radio de la circunferencia.

Aprende cómo determinar la ecuación ordinaria y general de una circunferencia con centro en (-9, 0) y radio 4. Este problema cubre conceptos clave de geometría coordenada y círculos, incluyendo la fórmula de la ecuación de una circunferencia. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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