En una academia se realiza una encuesta a 120 jovencitas y se obtienen los
siguientes datos: 80 quieren ser actrices; 70 quieren ser cantantes, y 50
quieren ser actrices y cantantes. Determine cuántas de ellas:
a) no quieren ser cantantes
b) no quieren ser actrices
c) cantantes, pero no actrices
d) actrices, pero no cantantes
e) ni actrices ni cantantes


Para resolver este problema, se utilizan los principios de conjuntos y la fórmula de inclusión-exclusión. Sean:

- \( A \) el conjunto de jovencitas que quieren ser actrices.
- \( C \) el conjunto de jovencitas que quieren ser cantantes.
- \( A \cap C \) el conjunto de jovencitas que quieren ser actrices y cantantes.

Los datos proporcionados son:

- \( |A| = 80 \)
- \( |C| = 70 \)
- \( |A \cap C| = 50 \)
- \( |U| = 120 \) (total de jovencitas encuestadas)

**Fórmulas:**

1. **Número de jovencitas que quieren ser actrices o cantantes o ambas:**
   \[
   |A \cup C| = |A| + |C| - |A \cap C| 
   \]
   \[
   |A \cup C| = 80 + 70 - 50 = 100
   \]

2. **Número de jovencitas que no quieren ser ni actrices ni cantantes:**
   \[
   |U - (A \cup C)| = 120 - 100 = 20
   \]

**Soluciones:**

a) **No quieren ser cantantes:**

   Las jovencitas que no quieren ser cantantes son aquellas que están en \( A \) pero no en \( C \), es decir, el complemento de \( C \) en \( A \):
   \[
   |A - C| = |A| - |A \cap C| = 80 - 50 = 30
   \]

b) **No quieren ser actrices:**

   Similar al caso anterior, estas son las jovencitas que están en \( C \) pero no en \( A \):
   \[
   |C - A| = |C| - |A \cap C| = 70 - 50 = 20
   \]

c) **Cantantes, pero no actrices:**

   Estas jovencitas corresponden a \( C - A \), que ya calculamos:
   \[
   20
   \]

d) **Actrices, pero no cantantes:**

   Estas jovencitas corresponden a \( A - C \), que también calculamos:
   \[
   30
   \]

e) **Ni actrices ni cantantes:**

   Como calculamos anteriormente:
   \[
   20
   \]

**Respuestas finales:**

a) No quieren ser cantantes: **30**

b) No quieren ser actrices: **20**

c) Cantantes, pero no actrices: **20**

d) Actrices, pero no cantantes: **30**

e) Ni actrices ni cantantes: **20**

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se utilizaría la fórmula de inclusión-exclusión en un caso con tres conjuntos?
2. Si se agregara un tercer grupo, por ejemplo, "quieren ser bailarinas", ¿cómo cambiaría la solución?
3. ¿Cómo se representa gráficamente este problema utilizando diagramas de Venn?
4. ¿Qué pasaría si ninguna jovencita quisiera ser tanto actriz como cantante?
5. ¿Cómo se resolvería si se cambiaran los valores de actrices y cantantes?

**Tip:** Siempre verifica las relaciones entre los conjuntos para evitar contar doble.

Explore a mathematical solution to a survey problem involving actresses and singers. Learn about set theory, the inclusion-exclusion principle, and how to calculate various subsets based on survey data. Suitable for high school students studying set theory and basic probability.

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