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L'exercice 8 demande de déterminer le **domaine de définition** de la fonction \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x \) et de dresser le tableau de variation de cette fonction.

### 1. Domaine de définition
La fonction donnée est un polynôme, et les polynômes sont définis pour tous les réels. Le domaine de définition de la fonction est donc \( \mathbb{R} \), c'est-à-dire l'ensemble des réels.

### 2. Tableau de variation
Pour dresser le tableau de variation de la fonction, il faut commencer par déterminer les points critiques, c'est-à-dire les valeurs de \( x \) où la dérivée première s'annule.

#### a) Calcul de la dérivée de \( f(x) \)
La fonction est :
\[
f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x
\]
La dérivée de \( f(x) \), notée \( f'(x) \), est :
\[
f'(x) = 6x^2 + 6x - 12
\]
On peut simplifier la dérivée :
\[
f'(x) = 6(x^2 + x - 2)
\]
Puis on factorise :
\[
f'(x) = 6(x - 1)(x + 2)
\]

#### b) Résolution de \( f'(x) = 0 \)
Pour trouver les points critiques, on résout :
\[
6(x - 1)(x + 2) = 0
\]
Cela donne les solutions :
\[
x = 1 \quad \text{et} \quad x = -2
\]

#### c) Signe de \( f'(x) \)
Pour déterminer le signe de \( f'(x) \), on analyse le signe du produit \( (x - 1)(x + 2) \). On peut utiliser un tableau de signes pour cela :

| \( x \)      | \( -\infty \) | \( -2 \) | \( 1 \) | \( +\infty \) |
|--------------|---------------|----------|--------|---------------|
| \( x + 2 \)  | -             | 0        | +      | +             |
| \( x - 1 \)  | -             | -        | 0      | +             |
| \( f'(x) \)  | +             | 0        | -      | 0             |

Ainsi, \( f'(x) \) est :
- positif pour \( x < -2 \),
- nul en \( x = -2 \),
- négatif entre \( -2 \) et \( 1 \),
- nul en \( x = 1 \),
- positif pour \( x > 1 \).

#### d) Tableau de variation de \( f(x) \)

Le tableau de variation montre que :
- \( f(x) \) est croissante pour \( x < -2 \),
- \( f(x) \) est décroissante pour \( -2 < x < 1 \),
- \( f(x) \) est croissante pour \( x > 1 \).

### Conclusion
Le domaine de définition de la fonction est \( \mathbb{R} \) et le tableau de variation est :

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x       & -\infty & -2     & 1      & +\infty \\
f'(x)   & +       & 0      & -      & 0       & + \\
f(x)    & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow \\
\end{array}
\]

Avez-vous des questions ou besoin de détails supplémentaires ? 

Voici 5 questions associées :
1. Comment factoriser efficacement des polynômes ?
2. Pourquoi la dérivée d'un polynôme permet-elle d'analyser ses variations ?
3. Quel est le lien entre les points critiques et les extremums d'une fonction ?
4. Comment construire un tableau de signes à partir de la dérivée factorisée ?
5. Comment interpréter le comportement d'une fonction polynomiale en termes de croissance et décroissance ?

**Tip :** Pour factoriser des polynômes quadratiques, cherchez d'abord les racines via des méthodes comme la formule du discriminant.

Donner le domaine de définition et dresser le tableau de variation de la fonction f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x.

Learn how to determine the domain of definition and construct the variation table for the function f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x. This solution includes finding the critical points, analyzing the sign of the derivative, and creating the variation table. Suitable for students in Grades 10-12.

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