f(x)=〖sen〗^2 x+5/2	Calcula la integral indefinida de la función f(x). Anexa el procedimiento completo.

Para calcular la integral indefinida de la función \( f(x) = \sin^2(x) + \frac{5}{2} \), seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Descomposición de la función
La función se puede descomponer en dos términos:
\[
f(x) = \sin^2(x) + \frac{5}{2}
\]

### Paso 2: Integral del primer término (\( \sin^2(x) \))
Para integrar \( \sin^2(x) \), utilizamos la identidad trigonométrica de ángulo doble:
\[
\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
\]
Entonces, la integral se convierte en:
\[
\int \sin^2(x) \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx
\]
\[
= \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx
\]
\[
= \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \cos(2x) \, dx \right)
\]
\[
= \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin(2x)}{2} \right) + C_1
\]
\[
= \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C_1
\]
donde \( C_1 \) es una constante de integración.

### Paso 3: Integral del segundo término (\( \frac{5}{2} \))
La integral de una constante \( \frac{5}{2} \) es:
\[
\int \frac{5}{2} \, dx = \frac{5}{2}x + C_2
\]
donde \( C_2 \) es otra constante de integración.

### Paso 4: Suma de los términos integrados
Sumamos los resultados de los pasos 2 y 3:
\[
\int f(x) \, dx = \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} \right) + \frac{5}{2}x + C
\]
donde \( C = C_1 + C_2 \) es la constante general de integración.

### Resultado final:
\[
\int f(x) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{5}{2}x + C
\]
\[
= \frac{6x}{4} - \frac{\sin(2x)}{4} + C
\]
\[
= \frac{3x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C
\]

Esta es la integral indefinida de la función \( f(x) = \sin^2(x) + \frac{5}{2} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se puede derivar el resultado para verificar la integral?
2. ¿Cómo cambia la integral si la función fuera \( \cos^2(x) + \frac{5}{2} \) en lugar de \( \sin^2(x) + \frac{5}{2} \)?
3. ¿Qué otras identidades trigonométricas se pueden utilizar en integrales similares?
4. ¿Cuál es la importancia de la constante de integración \( C \) en la solución?
5. ¿Cómo se puede aplicar este tipo de integral en problemas de física o ingeniería?

**Tip:** Recuerda que las identidades trigonométricas, como las de ángulo doble, son herramientas clave para simplificar e integrar funciones trigonométricas.

Aprende a calcular la integral indefinida de la función f(x) = sen^2(x) + 5/2 con un procedimiento detallado paso a paso. Incluye la descomposición de la función en términos integrales, el uso de identidades trigonométricas y la suma de constantes de integración. Adecuado para estudiantes y profesionales que estudian cálculo integral y funciones trigonométricas.

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