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Lass uns nun die Aufgaben auf Basis des neuen Bildes erneut durchgehen und lösen.

### **Aufgabe 1: Ganzrationale Funktionen mit Differentialrechnung analysieren**

Die Funktion \( f(x) = -x^4 + 2x^3 \) ist gegeben.

#### **Teil a: Nullstellen und Ableitungen**
1. **Nullstellen der Funktion \( f(x) \)**: 
   Setze \( f(x) = 0 \), um die Nullstellen zu bestimmen:
   \[
   -x^4 + 2x^3 = 0
   \]
   Faktorisieren:
   \[
   x^3(-x + 2) = 0
   \]
   Die Nullstellen sind \( x = 0 \) (mit Vielfachheit 3) und \( x = 2 \) (mit Vielfachheit 1).

2. **Erste Ableitung \( f'(x) \)**:
   Berechne die erste Ableitung der Funktion:
   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^3) = -4x^3 + 6x^2
   \]
   Setze \( f'(x) = 0 \), um kritische Punkte zu bestimmen:
   \[
   -4x^3 + 6x^2 = 0
   \]
   Faktorisieren:
   \[
   -2x^2(2x - 3) = 0
   \]
   Die Lösungen sind \( x = 0 \) und \( x = \frac{3}{2} \).

3. **Zweite Ableitung \( f''(x) \)**:
   Berechne die zweite Ableitung:
   \[
   f''(x) = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 6x^2) = -12x^2 + 12x
   \]
   Setze \( f''(x) = 0 \), um mögliche Wendepunkte zu bestimmen:
   \[
   -12x^2 + 12x = 0
   \]
   Faktorisieren:
   \[
   -12x(x - 1) = 0
   \]
   Die Lösungen sind \( x = 0 \) und \( x = 1 \).

#### **Zuordnung der Begriffe**:
- **Extrempunkte**: Extrempunkte liegen dort, wo \( f'(x) = 0 \) und \( f''(x) \neq 0 \). Dies ist der Fall bei \( x = \frac{3}{2} \).
- **Wendepunkte**: Wendepunkte liegen dort, wo \( f''(x) = 0 \) und \( f'(x) \neq 0 \). Dies tritt bei \( x = 1 \) auf.
- **Terrassenpunkt**: \( x = 0 \) ist ein Terrassenpunkt, weil \( f'(0) = 0 \) und \( f''(0) = 0 \).

#### **Teil b: Skizze des Graphen**
- Für \( x \to \infty \) geht \( f(x) \to -\infty \), und für \( x \to -\infty \) ebenfalls \( f(x) \to -\infty \), da der höchste Exponent (\( x^4 \)) negativ ist.
- Der Graph schneidet die x-Achse bei den Nullstellen \( x = 0 \) und \( x = 2 \), und zeigt ein Maximum bei \( x = \frac{3}{2} \) und einen Wendepunkt bei \( x = 1 \).

#### **Teil c: Graph von \( g(x) = 3 \cdot f(2x) \)**
- Diese Transformation bewirkt eine Streckung des Graphen von \( f \) in y-Richtung (Faktor 3) und eine Stauchung in x-Richtung (Faktor 2).

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### **Aufgabe 2: Graphisch differenzieren**

Auf der Abbildung sind drei Graphen gegeben: einer für \( f \), einer für \( f' \) und einer für \( f'' \).

#### **Teil a: Zuordnung der Graphen**
- Der Graph von \( f \) ist derjenige, der das Verhalten der Funktion zeigt (z. B. Schnittpunkte und Extrempunkte).
- Der Graph von \( f' \) zeigt die Nullstellen der Steigung, also wo die Extrempunkte von \( f \) sind.
- Der Graph von \( f'' \) zeigt Wendepunkte, wo die Krümmung wechselt.

#### **Teil b: Stellen \( x = 0 \) und \( x = 3 \)**
- Bei \( x = 0 \) und \( x = 3 \) können wir die Zusammenhänge zwischen den drei Graphen untersuchen, insbesondere die Nullstellen und Extrempunkte von \( f \) und \( f' \).

#### **Teil c: Wendepunkte markieren**
- Markiere die Wendepunkte des Graphen, wo \( f''(x) = 0 \) und die Steigung sich ändert.

#### **Teil d: Eigenschaften im Intervall \( ]x_0; 3[ \)**
- Da \( f''(x) \) negativ ist, ist der Graph von \( f \) in diesem Intervall konkav nach unten.

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### **Aufgabe 3: Einfluss von Parametern auf Funktionen**

Betrachte die Funktionen \( f_1(x) = ax + 3 \), \( f_2(x) = a(x + 3)^2 - 4 \) und \( f_3(x) = -0.5(x - a)^2 + 2 \).

#### **Teil a: Einfluss von \( a \)**
1. \( f_1(x) \) hat eine Steigung, die von \( a \) abhängt. Je größer \( a \), desto steiler der Graph.
2. \( f_2(x) \) ist eine Parabel. Der Parameter \( a \) verändert die Breite und Lage der Parabel.
3. \( f_3(x) \) verschiebt die Parabel entlang der x-Achse, abhängig von \( a \).

#### **Teil b: Nullstellen**
1. **\( f_1(x) = ax + 3 \)**:
   \[
   ax + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{a}.
   \]
2. **\( f_2(x) = a(x + 3)^2 - 4 \)**:
   Setze \( f_2(x) = 0 \) und löse nach \( x \) auf.
3. **\( f_3(x) = -0.5(x - a)^2 + 2 \)**:
   Bestimme die Nullstellen.

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Falls du noch Fragen oder mehr Details zu einem der Schritte möchtest, lass es mich wissen!

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**Tipp**: Die erste Ableitung gibt dir Informationen über die Steigung einer Funktion, während die zweite Ableitung dir Hinweise auf die Krümmung und Wendepunkte gibt.

Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f sowie der ersten und zweiten Ableitungsfunktion von f und geben Sie jeweils die Vielfachheit an. Ordnen Sie diese Punkte Begriffe wie Extrempunkt, Wendepunkt etc. zu. Skizzieren Sie den Graph von f und analysieren Sie die Transformation g(x) = 3 * f(2x).

Learn how to analyze the polynomial function f(x) = -x^4 + 2x^3, calculate its roots, first and second derivatives, and identify critical points such as extremum and inflection points. The exercise also involves sketching the graph of f(x) and analyzing the transformed function g(x) = 3 * f(2x). Suitable for advanced high school students in Grades 11-12.

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