Tentukan interval fungsi berikut f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x – 1 menjadi fungsi naik pada interval …

a.
-3 < x < 1

b.
x < -3 atau x > 1

c.
x <-1 atau x > 3

d.
-1 < x < 3

e.
1 < x < 3

Untuk menentukan interval di mana fungsi \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 1 \) adalah fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, lalu menentukan di mana turunan tersebut positif.

### Langkah 1: Turunan Pertama
Turunan pertama dari \( f(x) \) adalah:
\[
f'(x) = 3x^2 + 6x - 9
\]

### Langkah 2: Tentukan Nilai Kritikal
Untuk menemukan titik kritis, kita cari kapan \( f'(x) = 0 \):
\[
3x^2 + 6x - 9 = 0
\]

Bagi persamaan dengan 3 untuk menyederhanakan:
\[
x^2 + 2x - 3 = 0
\]

Sekarang, faktorkan persamaan kuadrat:
\[
(x + 3)(x - 1) = 0
\]

Jadi, \( x = -3 \) dan \( x = 1 \) adalah titik kritis.

### Langkah 3: Tentukan Sifat dari Interval
Kita perlu menentukan tanda dari \( f'(x) \) pada interval yang dibatasi oleh titik kritis \( x = -3 \) dan \( x = 1 \). Kita uji tanda \( f'(x) \) pada interval berikut:
- Interval \( (-\infty, -3) \)
- Interval \( (-3, 1) \)
- Interval \( (1, \infty) \)

#### Uji pada Interval \( (-\infty, -3) \)
Ambil nilai \( x = -4 \) dan substitusi ke \( f'(x) \):
\[
f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0
\]
Jadi, \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -3) \).

#### Uji pada Interval \( (-3, 1) \)
Ambil nilai \( x = 0 \) dan substitusi ke \( f'(x) \):
\[
f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0
\]
Jadi, \( f(x) \) turun pada interval \( (-3, 1) \).

#### Uji pada Interval \( (1, \infty) \)
Ambil nilai \( x = 2 \) dan substitusi ke \( f'(x) \):
\[
f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0
\]
Jadi, \( f(x) \) naik pada interval \( (1, \infty) \).

### Kesimpulan
Fungsi \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -3) \) dan \( (1, \infty) \). Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah:

**b. \( x < -3 \) atau \( x > 1 \)**

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:
1. Bagaimana cara menentukan interval turun suatu fungsi?
2. Apa pengaruh titik kritis terhadap grafik fungsi?
3. Bagaimana cara mencari akar persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan?
4. Apa hubungan antara turunan pertama dan grafik fungsi?
5. Bagaimana cara menggambar grafik fungsi berdasarkan turunannya?

**Tip:** Saat fungsi memiliki turunan positif di suatu interval, fungsi tersebut selalu naik pada interval tersebut.

Tentukan interval fungsi berikut f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x – 1 menjadi fungsi naik pada interval … a. -3 < x < 1 b. x < -3 atau x > 1 c. x <-1 atau x > 3 d. -1 < x < 3 e. 1 < x < 3

Discover how to determine the intervals where the function f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 1 increases. This detailed solution involves taking the derivative, finding critical points, and applying the First Derivative Test. Perfect for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation