Considere o sistema linear abaixo
{3x+2y-z=0
{x-2y+z=0
{x+8,3y+bz=0
Calcule o valor de b para que o sistema seja possível e indeterminado.

Para que o sistema linear seja **possível e indeterminado**, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero e o sistema deve ter infinitas soluções.

Dado o sistema linear:

\[
\begin{cases}
3x + 2y - z = 0 \\
x - 2y + z = 0 \\
x + 8,3y + bz = 0
\end{cases}
\]

Podemos escrever o sistema na forma matricial \( A \mathbf{x} = \mathbf{0} \), onde:

\[
A = \begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & 8,3 & b
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Para que o sistema seja possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes \( A \) deve ser igual a zero:

\[
\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 
3 & 2 & -1 \\ 
1 & -2 & 1 \\ 
1 & 8,3 & b 
\end{vmatrix} = 0
\]

Vamos calcular esse determinante:

\[
\text{det}(A) = 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 8,3 & b \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & b \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 8,3 \end{vmatrix}
\]

Agora, vamos calcular os determinantes de 2x2:

\[
\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 8,3 & b \end{vmatrix} = (-2) \cdot b - 1 \cdot 8,3 = -2b - 8,3
\]

\[
\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & b \end{vmatrix} = 1 \cdot b - 1 \cdot 1 = b - 1
\]

\[
\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 8,3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 8,3 - (-2) \cdot 1 = 8,3 + 2 = 10,3
\]

Substituindo na expressão do determinante:

\[
\text{det}(A) = 3 \cdot (-2b - 8,3) - 2 \cdot (b - 1) - 10,3
\]

Expandindo:

\[
\text{det}(A) = -6b - 24,9 - 2b + 2 - 10,3
\]

Simplificando:

\[
\text{det}(A) = -8b - 33,2
\]

Para que o sistema seja possível e indeterminado, o determinante deve ser igual a zero:

\[
-8b - 33,2 = 0
\]

Resolvendo para \( b \):

\[
-8b = 33,2 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{33,2}{8} = 4,15
\]

Portanto, o valor de \( b \) para que o sistema seja possível e indeterminado é \( b = 4,15 \).

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

### Perguntas Relacionadas:
1. O que caracteriza um sistema linear como possível e determinado?
2. Como interpretar geometricamente um sistema linear com infinitas soluções em \( \mathbb{R}^3 \)?
3. O que acontece se o determinante de uma matriz de coeficientes não for zero?
4. Como determinar se um sistema linear é impossível?
5. Quais são os métodos principais para resolver sistemas lineares, além de calcular o determinante?

### Dica:
Lembre-se de que um sistema linear possível e indeterminado ocorre quando há mais de uma solução, o que significa que os planos representados pelas equações se intersectam ao longo de uma linha ou se sobrepõem completamente.

Learn how to determine the value of parameter b in a linear system to make it possible and indeterminate. This problem involves calculating the determinant of a 3x3 matrix and understanding conditions for a linear system to have infinite solutions.

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