Verificar si {(a + 2b − 3,2a − b, a + b)} es L.I. ó L.D.

Para determinar si el conjunto de vectores \(\{(a + 2b − 3,2a − b, a + b)\}\) es linealmente independiente (L.I.) o linealmente dependiente (L.D.), debemos verificar si existe alguna combinación lineal no trivial de estos vectores que resulte en el vector cero.

Primero, identifiquemos los vectores en el conjunto. Aquí solo hay un vector, que es:

\[
\mathbf{v} = (a + 2b − 3, 2a − b, a + b)
\]

### Paso 1: Comprobación de la independencia lineal

Para que un conjunto de vectores sea linealmente independiente, la única solución a la ecuación vectorial

\[
c_1 \mathbf{v} = \mathbf{0}
\]

debe ser \(c_1 = 0\), donde \(c_1\) es un escalar.

En este caso, dado que solo hay un vector, si el vector \(\mathbf{v}\) es distinto del vector cero \((0, 0, 0)\), el conjunto será linealmente independiente.

### Paso 2: Verificar si el vector es el vector cero

Vamos a analizar si el vector \(\mathbf{v}\) es el vector cero:

\[
\mathbf{v} = (a + 2b − 3, 2a − b, a + b)
\]

Para que \(\mathbf{v} = (0, 0, 0)\), deben cumplirse las siguientes ecuaciones:

1. \(a + 2b − 3 = 0\)
2. \(2a − b = 0\)
3. \(a + b = 0\)

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones

Resolvamos este sistema:

1. De la tercera ecuación \(a + b = 0\), tenemos \(b = -a\).
2. Sustituyendo \(b = -a\) en la segunda ecuación \(2a - (-a) = 3a = 0\), lo que implica \(a = 0\).
3. Si \(a = 0\), entonces \(b = 0\).

Finalmente, sustituyendo \(a = 0\) y \(b = 0\) en la primera ecuación:

\[
0 + 2(0) - 3 = -3 \neq 0
\]

Esta contradicción indica que \(\mathbf{v}\) no es el vector cero para ningún valor de \(a\) y \(b\). Por lo tanto, el vector \(\mathbf{v}\) es distinto de \(\mathbf{0}\) y, como resultado, el conjunto es **linealmente independiente (L.I.)**.

### Resumen
El conjunto de vectores \(\{(a + 2b − 3,2a − b, a + b)\}\) es **linealmente independiente (L.I.)**.

¿Quieres detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la dependencia lineal en un conjunto de más de un vector?
2. ¿Qué significa que un conjunto de vectores sea linealmente independiente?
3. ¿Cómo afecta el número de vectores a la dependencia o independencia lineal?
4. ¿Cómo se verifica la independencia lineal en espacios vectoriales de dimensión mayor?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene la independencia lineal en álgebra lineal?

**Tip:** Al verificar la independencia lineal, siempre asegúrate de analizar si la única combinación lineal que da el vector cero es la trivial (todos los coeficientes son cero).

Learn how to determine if the vectors (a + 2b - 3, 2a - b, a + b) are linearly independent or linearly dependent. This problem involves analyzing vector spaces and systems of linear equations to verify linear independence. Suitable for undergraduate-level students.

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