Regla de la cadena para campos escalares
1. Calcula dw
dt . b) w = ln(||(x, y, z)||), x = sen(t), y = cos(t), z = tan(t)

Para calcular \(\frac{dw}{dt}\) donde \(w = \ln(||(x, y, z)||)\), y las funciones \(x = \sin(t)\), \(y = \cos(t)\), y \(z = \tan(t)\), seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Definir \(w\)
La función \(w\) está dada por:
\[
w = \ln(||(x, y, z)||)
\]
Donde \(||(x, y, z)||\) es la norma del vector \((x, y, z)\), que se define como:
\[
||(x, y, z)|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
\]
Por lo tanto:
\[
w = \ln(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})
\]

### Paso 2: Simplificar \(w\)
Podemos simplificar \(w\) usando la propiedad logarítmica \(\ln(\sqrt{A}) = \frac{1}{2} \ln(A)\):
\[
w = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2 + z^2)
\]

### Paso 3: Derivar \(w\) con respecto a \(t\) usando la regla de la cadena
Usamos la regla de la cadena para calcular \(\frac{dw}{dt}\):
\[
\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{dz}{dt}
\]

### Paso 4: Derivar \(w\) con respecto a \(x\), \(y\), y \(z\)
Primero, derivamos \(w\) con respecto a \(x\), \(y\), y \(z\):

\[
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + y^2 + z^2}
\]
\[
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} \cdot 2y = \frac{y}{x^2 + y^2 + z^2}
\]
\[
\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} \cdot 2z = \frac{z}{x^2 + y^2 + z^2}
\]

### Paso 5: Derivar \(x\), \(y\), y \(z\) con respecto a \(t\)
Ahora derivamos \(x\), \(y\), y \(z\) con respecto a \(t\):

\[
\frac{dx}{dt} = \cos(t)
\]
\[
\frac{dy}{dt} = -\sin(t)
\]
\[
\frac{dz}{dt} = \sec^2(t)
\]

### Paso 6: Aplicar la regla de la cadena
Finalmente, aplicamos la regla de la cadena:

\[
\frac{dw}{dt} = \frac{x}{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \cos(t) + \frac{y}{x^2 + y^2 + z^2} \cdot (-\sin(t)) + \frac{z}{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sec^2(t)
\]

### Paso 7: Sustituir \(x\), \(y\), y \(z\) en términos de \(t\)
Sustituimos \(x = \sin(t)\), \(y = \cos(t)\), y \(z = \tan(t)\):

\[
\frac{dw}{dt} = \frac{\sin(t) \cdot \cos(t) - \cos(t) \cdot \sin(t) + \tan(t) \cdot \sec^2(t)}{\sin^2(t) + \cos^2(t) + \tan^2(t)}
\]

Simplificando:

- La parte \(\sin(t) \cdot \cos(t) - \cos(t) \cdot \sin(t)\) se cancela (es cero).
- \(\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1\).

Por lo tanto, obtenemos:

\[
\frac{dw}{dt} = \frac{\tan(t) \cdot \sec^2(t)}{1 + \tan^2(t)}
\]

Usando la identidad \(\sec^2(t) = 1 + \tan^2(t)\), la expresión se simplifica a:

\[
\frac{dw}{dt} = \tan(t)
\]

### Respuesta final:
\[
\frac{dw}{dt} = \tan(t)
\]

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Qué sucede con \(\frac{dw}{dt}\) cuando \(t = \frac{\pi}{4}\)?
2. ¿Cómo se derivaría \(w\) si en lugar de la norma se utilizara otra función, como la suma de \(x\), \(y\), y \(z\)?
3. ¿Cuál sería la interpretación geométrica de la función \(w = \ln(||(x, y, z)||)\)?
4. ¿Qué otras identidades trigonométricas pueden simplificar la derivada de funciones similares?
5. ¿Cómo afectaría la función \(w\) si la norma se elevara al cuadrado antes de aplicar el logaritmo?

**Tip:** Es muy útil recordar las identidades trigonométricas comunes, ya que simplifican la derivación y el cálculo en muchos problemas matemáticos.

Explore how to apply the chain rule in calculus to find the derivative of a logarithmic function with respect to time, using vector norms. This problem involves advanced calculus concepts and is suitable for advanced undergraduate students.

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