Matilde y Lina estudian para el examen de periodo y encuentran la función 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 +3 y hallas los puntos máximos y mínimos, pero Matilde uso el criterio de la primera derivada, mientras que Lina el de la segunda. ¿si ninguna de las dos cometió errores, coincidieron en que son las coordenadas? La razón de cambio del tamaño de la búsqueda para un conjunto de 10 términos es.

Para determinar los **puntos máximos y mínimos** de la función \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 3 \), tanto Matilde como Lina debieron seguir pasos similares, pero con diferentes enfoques:

### Paso 1: Derivada de la función \( f(x) \)
Primero, derivamos la función para hallar los puntos críticos.

La primera derivada de \( f(x) \) es:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 3) = 4x^3 - 16x
\]
Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero:
\[
4x^3 - 16x = 0
\]
Factoremos:
\[
4x(x^2 - 4) = 0
\]
Esto nos da:
\[
x = 0 \quad \text{o} \quad x^2 - 4 = 0
\]
Resolviendo \( x^2 - 4 = 0 \), tenemos:
\[
x = \pm 2
\]
Por lo tanto, los puntos críticos son \( x = -2, 0, 2 \).

### Paso 2: Criterio de la primera derivada (Matilde)
Para aplicar el criterio de la primera derivada, se evalúa el signo de \( f'(x) \) en intervalos alrededor de los puntos críticos.

- Si \( x < -2 \), por ejemplo \( x = -3 \), \( f'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 \) (negativo).
- Si \( -2 < x < 0 \), por ejemplo \( x = -1 \), \( f'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 \) (positivo).
- Si \( 0 < x < 2 \), por ejemplo \( x = 1 \), \( f'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 \) (negativo).
- Si \( x > 2 \), por ejemplo \( x = 3 \), \( f'(3) = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 \) (positivo).

De este análisis, concluimos:
- En \( x = -2 \), cambia de negativo a positivo, por lo tanto es un **mínimo**.
- En \( x = 0 \), cambia de positivo a negativo, por lo tanto es un **máximo**.
- En \( x = 2 \), cambia de negativo a positivo, por lo tanto es un **mínimo**.

### Paso 3: Criterio de la segunda derivada (Lina)
Para aplicar el criterio de la segunda derivada, derivamos \( f'(x) \) nuevamente:
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16
\]
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:
- En \( x = -2 \), \( f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32 \) (positivo, indica un **mínimo**).
- En \( x = 0 \), \( f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \) (negativo, indica un **máximo**).
- En \( x = 2 \), \( f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32 \) (positivo, indica un **mínimo**).

### Conclusión:
Ambos métodos coinciden en los mismos resultados. Las coordenadas de los extremos locales son:
- **Máximo en \( (0, f(0)) = (0, 3) \)**
- **Mínimos en \( (-2, f(-2)) = (-2, -13) \) y \( (2, f(2)) = (2, -13) \)**.

### Segunda pregunta: Tasa de cambio para la búsqueda en un conjunto de 10 términos
No está claro el contexto de esta parte. ¿Podrías aclarar si se refiere a una tasa de cambio relacionada con una búsqueda específica o un tipo de análisis en particular?

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los métodos o sobre cómo se obtuvo algún resultado? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta geométricamente el criterio de la primera derivada?
2. ¿Cómo afecta el criterio de la segunda derivada en la clasificación de extremos?
3. ¿Qué ocurre en funciones donde la segunda derivada es cero en puntos críticos?
4. ¿Cuáles son otros métodos para hallar puntos máximos y mínimos?
5. ¿Cómo se usan las derivadas en la optimización de funciones en el mundo real?

**Tip:** El criterio de la segunda derivada es más directo si tienes la segunda derivada disponible, ya que no requiere analizar los cambios de signo de la primera derivada.

Matilde y Lina estudian para el examen de periodo y encuentran la función 𝑓(𝑥) = 𝑥^4 − 8𝑥^2 +3 y hallas los puntos máximos y mínimos, pero Matilde uso el criterio de la primera derivada, mientras que Lina el de la segunda. ¿si ninguna de las dos cometió errores, coincidieron en que son las coordenadas? La razón de cambio del tamaño de la búsqueda para un conjunto de 10 términos es.

Discover how to find the maximum and minimum points of the function f(x) = x^4 - 8x^2 + 3 using both the first and second derivative tests. Follow a detailed step-by-step process that evaluates critical points and concavity. Perfect for students in Grades 10-12 learning calculus.

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