Regla de la cadena para campos escalares
1. Calcula dw
dt .
a) w = xey/z
, x = t
2
, y = 1 − t, z = 1 + 2t

Para resolver \(\frac{dw}{dt}\) utilizando la regla de la cadena, primero determinamos la derivada parcial de \(w\) con respecto a cada una de las variables \(x\), \(y\) y \(z\), y luego multiplicamos por las derivadas de estas variables con respecto a \(t\).

### Paso 1: Definimos \(w\)
Dado:
\[ w = x \cdot e^{y/z} \]

### Paso 2: Derivadas parciales de \(w\)
Calculamos las derivadas parciales de \(w\) con respecto a \(x\), \(y\), y \(z\):

1. \(\frac{\partial w}{\partial x}\):
\[ \frac{\partial w}{\partial x} = e^{y/z} \]

2. \(\frac{\partial w}{\partial y}\):
\[ \frac{\partial w}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{z} \cdot e^{y/z} = \frac{x}{z} \cdot e^{y/z} \]

3. \(\frac{\partial w}{\partial z}\):
\[ \frac{\partial w}{\partial z} = x \cdot e^{y/z} \cdot \left(-\frac{y}{z^2}\right) = -\frac{xy}{z^2} \cdot e^{y/z} \]

### Paso 3: Derivadas de \(x\), \(y\), y \(z\) con respecto a \(t\)
Ahora, derivamos \(x\), \(y\), y \(z\) con respecto a \(t\):

1. \(\frac{dx}{dt}\):
\[ x = t^2 \implies \frac{dx}{dt} = 2t \]

2. \(\frac{dy}{dt}\):
\[ y = 1 - t \implies \frac{dy}{dt} = -1 \]

3. \(\frac{dz}{dt}\):
\[ z = 1 + 2t \implies \frac{dz}{dt} = 2 \]

### Paso 4: Aplicación de la regla de la cadena
Ahora usamos la regla de la cadena para calcular \(\frac{dw}{dt}\):

\[
\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{dz}{dt}
\]

Sustituyendo los valores calculados:

\[
\frac{dw}{dt} = e^{y/z} \cdot 2t + \frac{x}{z} \cdot e^{y/z} \cdot (-1) + \left(-\frac{xy}{z^2}\right) \cdot e^{y/z} \cdot 2
\]

Factorizando \( e^{y/z} \):

\[
\frac{dw}{dt} = e^{y/z} \left(2t - \frac{x}{z} - \frac{2xy}{z^2}\right)
\]

### Paso 5: Sustitución de las expresiones de \(x\), \(y\), y \(z\)
Sustituimos \(x = t^2\), \(y = 1 - t\), y \(z = 1 + 2t\) en la expresión final:

\[
\frac{dw}{dt} = e^{\frac{1-t}{1+2t}} \left(2t - \frac{t^2}{1+2t} - \frac{2t^2(1-t)}{(1+2t)^2}\right)
\]

Esa es la expresión final para \(\frac{dw}{dt}\).

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se simplifica la expresión final para \(\frac{dw}{dt}\)?
2. ¿Cómo afecta la elección de \(t\) a la tasa de cambio \(\frac{dw}{dt}\)?
3. ¿Qué sucede con \(\frac{dw}{dt}\) cuando \(t = 0\)?
4. ¿Cómo cambia \(\frac{dw}{dt}\) si cambiamos la función \(w\)?
5. ¿Cuál es el significado geométrico de \(\frac{dw}{dt}\) en este contexto?

**Tip:** Para problemas complejos, siempre es útil desglosar los pasos y manejar las derivadas parciales y totales por separado antes de combinarlas.

Learn how to apply the chain rule in calculus to find the derivative dw/dt for the scalar field w = xey/z, where x = t^2, y = 1 - t, and z = 1 + 2t. Detailed step-by-step solution provided.

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