5-Dentro de 30 años la edad de Andrea será la mitad
del cuadrado de la edad que tenía hace 10 años.
¿Cuántos años tiene Andrea hoy?

Vamos a resolver este problema usando una ecuación algebraica.

1. **Definición de variables:**
   - Sea \( x \) la edad actual de Andrea.

2. **Hace 10 años:**
   - La edad de Andrea hace 10 años era \( x - 10 \).

3. **Dentro de 30 años:**
   - La edad de Andrea dentro de 30 años será \( x + 30 \).

4. **Condición del problema:**
   - Dentro de 30 años, la edad de Andrea será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 10 años.

   Por lo tanto, la ecuación es:

\[
x + 30 = \frac{1}{2} \times (x - 10)^2
\]

5. **Resolución de la ecuación:**

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para eliminar la fracción:

\[
2(x + 30) = (x - 10)^2
\]

Expandiendo ambos lados:

\[
2x + 60 = x^2 - 20x + 100
\]

Reordenando todos los términos en un solo lado de la ecuación:

\[
x^2 - 22x + 40 = 0
\]

6. **Resolución de la ecuación cuadrática:**

Para resolver esta ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde \( a = 1 \), \( b = -22 \) y \( c = 40 \).

Sustituyendo estos valores en la fórmula:

\[
x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}
\]

Simplificamos:

\[
x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 160}}{2}
\]

\[
x = \frac{22 \pm \sqrt{324}}{2}
\]

\[
x = \frac{22 \pm 18}{2}
\]

Tenemos dos posibles soluciones para \( x \):

\[
x_1 = \frac{22 + 18}{2} = 20, \quad x_2 = \frac{22 - 18}{2} = 2
\]

7. **Interpretación de las soluciones:**

La solución \( x = 2 \) no es lógica en este contexto, ya que si Andrea tuviera 2 años hoy, hace 10 años tendría una edad negativa, lo cual no es posible.

Por lo tanto, la edad actual de Andrea es:

\[
\boxed{20 \text{ años}}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se verifica si una solución es válida en problemas de edades?
2. ¿Qué otras formas hay de resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cómo se formula una ecuación a partir de una condición verbal?
4. ¿Qué hacer si la solución de una ecuación cuadrática no es un número entero?
5. ¿Cómo interpretar las soluciones negativas o imposibles en problemas de aplicación?

**Tip:** Cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas, siempre verifica si ambas soluciones tienen sentido en el contexto del problema.

Learn how to solve the problem involving Andrea's age using quadratic equations. Understand the step-by-step process to determine Andrea's current age based on given conditions. Suitable for high school students learning algebra and quadratic equations.

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