1.       f(x) = 3x^3 - 2x^2 – 12x + 8       desarrolla este ejercicio y explica el paso a paso 

Vamos a desarrollar la función \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 \). El objetivo será analizar esta función y describir algunos aspectos clave como las raíces, los extremos relativos y la concavidad.

### Paso 1: Derivada de la función

Para encontrar los puntos críticos, es necesario derivar la función.

1. Derivada de \( 3x^3 \):
   \[
   \frac{d}{dx}(3x^3) = 9x^2
   \]

2. Derivada de \( -2x^2 \):
   \[
   \frac{d}{dx}(-2x^2) = -4x
   \]

3. Derivada de \( -12x \):
   \[
   \frac{d}{dx}(-12x) = -12
   \]

4. Derivada de \( 8 \) (una constante):
   \[
   \frac{d}{dx}(8) = 0
   \]

Así, la derivada de \( f(x) \) es:
\[
f'(x) = 9x^2 - 4x - 12
\]

### Paso 2: Encontrar los puntos críticos

Los puntos críticos ocurren cuando \( f'(x) = 0 \). Entonces resolvemos:
\[
9x^2 - 4x - 12 = 0
\]

Utilizamos la fórmula general para resolver esta ecuación cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 9 \), \( b = -4 \) y \( c = -12 \). Aplicamos la fórmula:
\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(9)(-12)}}{2(9)}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 432}}{18}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{448}}{18}
\]
\[
x = \frac{4 \pm 21.17}{18}
\]

Las soluciones son:
\[
x_1 = \frac{4 + 21.17}{18} = 1.4 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{4 - 21.17}{18} = -0.95
\]

### Paso 3: Segunda derivada (para analizar la concavidad)

Derivamos \( f'(x) \) para encontrar \( f''(x) \) y estudiar la concavidad:
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 4x - 12) = 18x - 4
\]

Evaluamos \( f''(x) \) en los puntos críticos:

1. Para \( x = 1.4 \):
   \[
   f''(1.4) = 18(1.4) - 4 = 25.2 - 4 = 21.2 > 0
   \]
   Esto indica que en \( x = 1.4 \) hay un **mínimo relativo**.

2. Para \( x = -0.95 \):
   \[
   f''(-0.95) = 18(-0.95) - 4 = -17.1 - 4 = -21.1 < 0
   \]
   Esto indica que en \( x = -0.95 \) hay un **máximo relativo**.

### Paso 4: Resumen

1. **Máximo relativo** en \( x = -0.95 \).
2. **Mínimo relativo** en \( x = 1.4 \).

### ¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre algún paso? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más sobre este tema:
1. ¿Cómo se interpretan los puntos de inflexión en una función cúbica?
2. ¿Cómo encontrar las raíces de un polinomio cúbico?
3. ¿Qué importancia tienen las derivadas en el análisis de funciones?
4. ¿Qué significa el criterio de la segunda derivada?
5. ¿Cómo se comporta una función en términos de concavidad?

**Tip**: Las derivadas sucesivas son herramientas clave para entender el comportamiento local de una función.

f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 desarrolla este ejercicio y explica el paso a paso

Explore the step-by-step solution of the cubic function f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 12x + 8. Learn how to find the first and second derivatives, calculate critical points using the quadratic formula, and analyze concavity. Ideal for students in Grades 10-12.

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