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The image contains a series of basic growth-related calculations, primarily dealing with income growth rates over time. Let’s go through these one by one.

### 1. Cálculos básicos (Basic Calculations):

**a. Calcula la renta de un país que crece durante 100 años a una tasa media del 3% si su renta inicial es de 1000 unidades.**

This is a compound interest problem, where we calculate the final value of income after a certain period, given an initial amount, a growth rate, and the time period.

The formula to use is:
\[
A = P(1 + r)^t
\]
Where:
- \( A \) = final income after \( t \) years
- \( P \) = initial income (1000 units)
- \( r \) = growth rate (3% or 0.03)
- \( t \) = time in years (100 years)

**b. Calcula la tasa de crecimiento medio acumulado de un país que pasa de una renta de 1000 a 2000 en 100 años.**

Here, we are given the initial and final amounts and asked to calculate the average growth rate over 100 years. We use the formula for the growth rate:
\[
r = \left( \frac{A}{P} \right)^{\frac{1}{t}} - 1
\]
Where:
- \( A \) = final income (2000)
- \( P \) = initial income (1000)
- \( t \) = 100 years

**c. ¿Qué tasa de crecimiento media anual se necesita para duplicar la renta en 15 años?**

This is another case of finding the growth rate for doubling the income. We use the same formula:
\[
r = \left( \frac{A}{P} \right)^{\frac{1}{t}} - 1
\]
Where \( A = 2P \) (because we are doubling the income) and \( t = 15 \) years.

**d. ¿Qué tasa de crecimiento media anual se necesita para duplicar la renta en 30 años?**

This is similar to the previous one but for \( t = 30 \) years.

**e. ¿Cuántos años se necesita para duplicar la renta per cápita con una tasa de crecimiento del 1%?**

Here, we use the formula to find the time \( t \) for doubling the income:
\[
t = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + r)}
\]
Where \( r = 0.01 \) (1%).

**f. ¿Cuántos años necesita para duplicar la renta per cápita con una tasa de crecimiento del 3%?**

Similar to part e, but with \( r = 0.03 \) (3%).

**g. Si la población crece un 1% anual, ¿Cuánto deberá crecer la renta para mantener constante la renta per cápita?**

For this, the income must grow at the same rate as the population to keep per capita income constant. So, the required growth rate is also 1%.

**h. Si la población crece un 1% anual, ¿Cuánto debería crecer la renta para que crezca la renta per cápita en un 5%?**

In this case, the total income growth rate must be enough to account for both the population growth and the desired per capita income growth. If \( r_p \) is the population growth rate (1%) and \( r_c \) is the desired per capita growth (5%), the total income growth rate \( r \) is approximately the sum:
\[
r \approx r_p + r_c = 1\% + 5\% = 6\%
\]

---

I'll calculate the solutions based on these formulas next. Do you have any specific preference for one of the calculations first, or should I proceed sequentially?

Cálculos básicos sobre la tasa de crecimiento de la renta de un país en diferentes escenarios, incluyendo duplicar la renta, crecimiento per cápita y crecimiento poblacional.

Realiza cálculos sobre el crecimiento de la renta en un país que crece a una tasa anual del 3%, duplica su renta en 15 años o calcula el crecimiento poblacional y per cápita. Incluye fórmulas de interés compuesto y crecimiento anual.

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