resolver por  integrales de potencias de funciones trigonométricas: ∫ (6𝑥(𝑥
(2) + 4)
4 𝑑� 

Parece que hay un problema de formato en la integral que proporcionaste. Me parece que la integral debería tener una función trigonométrica, pero no la identifico claramente en el enunciado. Voy a hacer una interpretación probable para poder ayudarte.

Podría ser que la integral que deseas resolver sea algo como:

\[
\int 6x(x^2 + 4)^4 \, dx
\]

Si este es el caso, podemos resolverla usando la sustitución \( u \).

### Solución

1. **Definimos la sustitución**:

   Sea \( u = x^2 + 4 \), entonces \( du = 2x \, dx \).

2. **Reescribimos la integral**:

   \[
   \int 6x(x^2 + 4)^4 \, dx = \int 6x \cdot u^4 \, dx
   \]

3. **Sustitución en la integral**:

   Como \( du = 2x \, dx \), podemos escribir \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \). Entonces:

   \[
   \int 6x \cdot u^4 \, dx = \int 6 \cdot u^4 \cdot \frac{1}{2} \, du = 3 \int u^4 \, du
   \]

4. **Integramos**:

   \[
   3 \int u^4 \, du = 3 \cdot \frac{u^5}{5} = \frac{3}{5} u^5 + C
   \]

5. **Sustituimos \( u = x^2 + 4 \) de nuevo**:

   \[
   \frac{3}{5} (x^2 + 4)^5 + C
   \]

Por lo tanto, la solución de la integral es:

\[
\int 6x(x^2 + 4)^4 \, dx = \frac{3}{5} (x^2 + 4)^5 + C
\]

---

Si no era este el problema que querías resolver, o si había funciones trigonométricas involucradas, por favor dame más detalles o corrige el formato, y estaré encantado de ayudarte.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se utiliza el método de sustitución en integrales con funciones trigonométricas?
2. ¿Qué otros métodos hay para resolver integrales de funciones trigonométricas?
3. ¿Cómo se integran funciones trigonométricas elevadas a potencias?
4. ¿Qué técnicas se usan para integrar funciones que son productos de polinomios y funciones trigonométricas?
5. ¿Cuándo es preferible usar integración por partes en lugar de sustitución?

**Tip:** En integrales complejas, siempre verifica si una sustitución simple puede simplificar considerablemente la integral antes de intentar métodos más complicados.

Learn how to integrate the expression 6x(x^2 + 4)^4 using the substitution method in calculus. This problem involves trigonometric functions and demonstrates a step-by-step solution approach. Suitable for advanced mathematics students.

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