Resuelve por integrales de potencias de funciones trigonométricas: ∫ (𝑠𝑒𝑛4
(𝑥)) 𝑑x

Para resolver la integral \(\int \sin^4(x) \, dx\) utilizando integrales de potencias de funciones trigonométricas, podemos usar la identidad de reducción de potencias trigonométricas. 

### Paso 1: Usar la identidad de reducción de potencias
Utilizamos la identidad:
\[
\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
\]

Primero, reescribimos \(\sin^4(x)\) como \((\sin^2(x))^2\):

\[
\sin^4(x) = (\sin^2(x))^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2
\]

### Paso 2: Expandir la expresión
Expandimos el cuadrado:

\[
\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{(1 - \cos(2x))^2}{4}
\]

Ahora expandimos \((1 - \cos(2x))^2\):

\[
(1 - \cos(2x))^2 = 1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)
\]

Entonces, la expresión se convierte en:

\[
\sin^4(x) = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}
\]

### Paso 3: Sustitución de \(\cos^2(2x)\)
Usamos la identidad \(\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}\):

\[
\sin^4(x) = \frac{1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4}
\]

Simplificamos la expresión:

\[
\sin^4(x) = \frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{8} = \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}
\]

### Paso 4: Dividir y simplificar la integral
La integral se descompone en tres partes:

\[
\int \sin^4(x) \, dx = \int \frac{3}{8} \, dx - \int \frac{4\cos(2x)}{8} \, dx + \int \frac{\cos(4x)}{8} \, dx
\]

Simplificamos los coeficientes:

\[
= \frac{3}{8} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx + \frac{1}{8} \int \cos(4x) \, dx
\]

Ahora integramos cada término:

1. \(\frac{3}{8} \int dx = \frac{3}{8}x\)
2. \(-\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = -\frac{\sin(2x)}{4}\)
3. \(\frac{1}{8} \int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} = \frac{\sin(4x)}{32}\)

### Paso 5: Combinar los resultados
La solución final es:

\[
\int \sin^4(x) \, dx = \frac{3}{8}x - \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C
\]

donde \(C\) es la constante de integración.

¿Deseas una explicación más detallada de algún paso o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se resuelven integrales de potencias de funciones trigonométricas diferentes?
2. ¿Qué otras identidades trigonométricas son útiles en la resolución de integrales?
3. ¿Cómo se aplica el método de integración por partes en funciones trigonométricas?
4. ¿Existen formas alternativas de resolver esta integral?
5. ¿Cómo afecta la constante de integración en el resultado final?

**Tip:** Practicar con integrales de diferentes potencias trigonométricas puede ayudar a dominar el uso de identidades y simplificaciones.

Learn how to integrate sin^4(x) step-by-step using trigonometric power reduction. This problem involves applying trigonometric identities to simplify and integrate the expression. Suitable for college-level students studying calculus and trigonometry.

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