EJERCICIO 05.
Se desea crear un área rectangular que mida 500 m2, con ciertos tipos de cercas. Dos de
los lados de longitud x, cuestan S/. 12 el metro y los otros cuesta S/. 25 el metro.
a) Definir la función que exprese el costo total de la cerca en función de un lado x.
b) Determine su dominio

Vamos a resolver el problema paso a paso para encontrar la función del costo total de la cerca y su dominio.

### a) Definir la función que exprese el costo total de la cerca en función de un lado \(x\).

Supongamos que el área rectangular tiene dos lados de longitud \(x\) metros y los otros dos lados de longitud \(y\) metros. Sabemos que el área total es de 500 m², por lo tanto:

\[
x \cdot y = 500
\]

De esta relación, podemos despejar \(y\) en términos de \(x\):

\[
y = \frac{500}{x}
\]

El costo de los lados de longitud \(x\) es S/. 12 por metro, y el costo de los lados de longitud \(y\) es S/. 25 por metro. El costo total \(C\) de la cerca es la suma del costo de todos los lados:

\[
C = 12(2x) + 25(2y)
\]

Simplificando:

\[
C = 24x + 50y
\]

Sustituyendo \(y\) por \(\frac{500}{x}\):

\[
C(x) = 24x + 50\left(\frac{500}{x}\right)
\]

\[
C(x) = 24x + \frac{25000}{x}
\]

Esta es la función que expresa el costo total de la cerca en función de \(x\).

### b) Determinar el dominio de la función

Para determinar el dominio de \(C(x) = 24x + \frac{25000}{x}\), consideramos las restricciones matemáticas y del contexto físico:

1. \(x\) debe ser mayor que cero (\(x > 0\)) porque no se puede tener una longitud negativa o cero en un lado de la cerca.
2. \(x\) debe ser tal que la expresión matemática esté definida, lo cual ya se cumple con \(x > 0\) porque la función \(\frac{25000}{x}\) solo presenta problemas cuando \(x = 0\).

Por lo tanto, el dominio de la función es:

\[
D = (0, \infty)
\]

Es decir, el dominio de la función \(C(x)\) es todos los números reales positivos.

---

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cuál sería el valor de \(x\) que minimiza el costo total de la cerca?
2. ¿Cómo cambia el costo si se reduce el precio de los lados de longitud \(x\) a S/. 10 por metro?
3. ¿Qué sucede con el costo si el área cambia a 600 m² manteniendo los mismos precios?
4. ¿Cuál es el costo total si \(x = 10\) m?
5. ¿Qué impacto tiene en el costo si el precio del lado de \(y\) cambia a S/. 30 por metro?

### Tip:
Para optimizar el costo total, puedes derivar la función \(C(x)\) y buscar los puntos críticos, lo cual te dará la longitud \(x\) que minimiza el costo.

Explore the cost function for fencing a rectangular area of 500 m² with sides costing S/. 12 per meter and S/. 25 per meter. Learn how to determine the total cost based on one side length x. Suitable for advanced high school students.

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