Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio
de monóxido de carbono en el aire será 𝑐(𝑝) = 0.3𝑝 + 1.5 partes por millón cuando la
población sea p miles. Se estima que en t años, la población de la comunidad será
modelada por la función 𝑝(𝑡) = 4 + 0.5𝑡2 miles.
a) Hallar la población luego de 3 años.
b) Expresar el nivel del monóxido de carbono en el aire como una función del
tiempo (es decir, 𝑐(𝑝(𝑡)) )
c) Hallar el nivel de monóxido de carbono luego de 3 años

Vamos a resolver el problema paso a paso.

### a) Hallar la población luego de 3 años.

La población en \( t \) años está dada por la función:

\[
p(t) = 4 + 0.5t^2
\]

Sustituyendo \( t = 3 \) años:

\[
p(3) = 4 + 0.5 \times 3^2 = 4 + 0.5 \times 9 = 4 + 4.5 = 8.5 \text{ miles}
\]

Por lo tanto, la población luego de 3 años será de 8.5 miles.

### b) Expresar el nivel del monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo

El nivel de monóxido de carbono en función de la población está dado por:

\[
c(p) = 0.3p + 1.5
\]

Queremos expresar \( c \) como una función del tiempo \( t \), es decir, \( c(p(t)) \). Sustituimos \( p(t) \) en \( c(p) \):

\[
c(p(t)) = 0.3(4 + 0.5t^2) + 1.5
\]

Simplificando la expresión:

\[
c(t) = 0.3 \times 4 + 0.3 \times 0.5t^2 + 1.5 = 1.2 + 0.15t^2 + 1.5 = 2.7 + 0.15t^2
\]

Así, el nivel del monóxido de carbono como función del tiempo es:

\[
c(t) = 2.7 + 0.15t^2
\]

### c) Hallar el nivel de monóxido de carbono luego de 3 años

Sustituimos \( t = 3 \) en la función \( c(t) \):

\[
c(3) = 2.7 + 0.15 \times 3^2 = 2.7 + 0.15 \times 9 = 2.7 + 1.35 = 4.05 \text{ partes por millón}
\]

Por lo tanto, el nivel de monóxido de carbono luego de 3 años es de 4.05 partes por millón.

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¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se afecta la población si el crecimiento fuera lineal en lugar de cuadrático?
2. ¿Qué sucedería con el nivel de monóxido de carbono si la constante en \( p(t) \) cambiara?
3. ¿Cómo cambiaría la función \( c(p(t)) \) si el nivel inicial de monóxido de carbono fuera diferente?
4. ¿Qué impacto tiene el valor de 0.3 en la función \( c(p) \) sobre la concentración de monóxido?
5. ¿Cómo afecta una variación en los parámetros de \( p(t) \) al modelo del nivel de monóxido?

### Tip:
Para analizar el impacto a largo plazo de la población sobre la contaminación, es útil evaluar la función \( c(t) \) para diferentes valores de \( t \) y observar la tendencia.

Explore how population growth impacts carbon monoxide levels in a suburban community. Solve for population after 3 years, express carbon monoxide level as a function of time, and calculate the carbon monoxide level after 3 years.

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