La gráfica de una función sinusoidal interseca su línea media en 
\[(0,2)\], y luego tiene un punto mínimo en 
\[(3,-6)\].
Escribe la fórmula de la función, donde 
\[x\] esté dado en radianes.

La función sinusoidal puede describirse por la ecuación general:

\[
y(x) = A \cdot \sin(B(x - C)) + D
\]

Donde:
- \(A\) es la amplitud de la función.
- \(B\) afecta al período de la función.
- \(C\) es la traslación horizontal (fase).
- \(D\) es la traslación vertical (línea media).

**Paso 1: Determinar \(D\) (la línea media)**

La línea media de la función es \(D\), que corresponde al valor medio de la función. Como la gráfica interseca la línea media en \((0, 2)\), sabemos que \(D = 2\).

**Paso 2: Determinar \(A\) (la amplitud)**

El punto mínimo dado es \((3, -6)\). Como el mínimo es \(-6\) y la línea media es \(2\), la amplitud \(A\) es la distancia desde la línea media hasta el mínimo:

\[
A = 2 - (-6) = 8
\]

**Paso 3: Determinar \(B\) (el período)**

El período de la función sinusoidal está relacionado con \(B\) por la fórmula:

\[
\text{Período} = \frac{2\pi}{B}
\]

La función pasa por un mínimo en \(x = 3\), que es un cuarto del período completo (ya que la función va de la línea media al mínimo en un cuarto de ciclo). Como el primer cruce de la línea media está en \(x = 0\), el mínimo en \(x = 3\) implica que un cuarto del período es \(3\), por lo tanto, el período completo es:

\[
\text{Período} = 4 \times 3 = 12
\]

Entonces:

\[
\frac{2\pi}{B} = 12 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\pi}{6}
\]

**Paso 4: Determinar \(C\) (la fase)**

Dado que la función sinusoidal interseca la línea media en \((0, 2)\) y la función sinusoidal básica \(\sin(x)\) tiene un cruce por la línea media en \(x = 0\), no es necesaria ninguna traslación horizontal:

\[
C = 0
\]

**Función final**

Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula general, obtenemos la función sinusoidal:

\[
y(x) = 8 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6} \cdot x\right) + 2
\]

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el valor de la amplitud en otras funciones trigonométricas?
2. ¿Cómo afecta el valor de \(B\) al período de una función sinusoidal?
3. ¿Qué ocurriría si el punto mínimo estuviera en un punto diferente de \(x = 3\)?
4. ¿Cómo podrías transformar esta función en una función cosenoidal equivalente?
5. ¿Qué pasaría si \(C\) no fuera 0? ¿Cómo se afectaría la gráfica?

### Consejo:
Recuerda que la relación entre el período y \(B\) en funciones trigonométricas es clave para identificar cómo se estiran o comprimen las gráficas de estas funciones.

Learn how to solve a sinusoidal function problem involving intersections and a minimum point. This problem involves determining the formula of a sinusoidal function given specific intersection and minimum point details. Suitable for high school students.

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